Encontre o limite lim t 0(e^t^2 i-j+ln (1+3 t) k), se existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o limite de um vetor dado por . Estamos lidando com limites de funções vetoriais, e para isso, precisamos analisar o limite de cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o limite de um vetor é calculado encontrando o limite de cada uma das suas componentes. Ou seja, se tivermos um vetor limt to 0 V(t) = ( limt to 0 V1(t) ) i + ( limt to 0 V2(t) ) j + ( limt to 0 V3(t) ) k , então:
Vamos aplicar isso ao nosso exercício.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. Componente limt to 0 e^t^2 = e^0 = 1 :
    Temos limt to 0 -j = -j . Sabemos que limt to 0 ln(1 + 3t) = ln(1) = 0 , então:
  2. Componente :
    A componente é apenas , que é uma constante. O limite de uma constante é a própria constante:
  3. Componente :
    Temos . Usando o fato de que :

Passo 4

Agora, juntando tudo, o limite do vetor é:
lim t 0(e^t^2 i - j + ln (1+3 t) k) = 1i - j + 0k
Podemos simplificar removendo o termo que multiplica zero:
1i - j

Resposta

O limite é .

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