Considere as curvas
e
k. Determine o domínio de
e exiba o maior conjunto em que
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a curva
. O objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função e qual é o maior conjunto onde ela é contínua. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções e seus domínios, além dos conceitos de continuidade. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhum problema como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada componente da função
:
-
Componente
: é uma constante, não depende de , então está definida para todo . -
Componente
: . Aqui, é a função exponencial, que está definida para todo número real . Multiplicando por , não há restrições. -
Componente
: . Potências de estão definidas para todo número real .
Passo 4
Como todas as componentes de
estão definidas para qualquer valor real de
, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais. Em notação matemática:
Passo 5
Agora vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em algum ponto se não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto. No caso das funções polinomiais e exponenciais, como as que temos aqui, elas são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 6
Como o domínio de
é todos os números reais (
) e cada componente é contínua em todo esse domínio, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais (
) e a função
é contínua em todo esse conjunto.