Considere as curvas r(t) = -2 e^(t^2) i - 3 j + ln(2t - 1) k e s(t) = raiz(3)i + t * e^t * j + t^3 k. Determine o domínio de s(t) e exiba o maior conjunto em que s é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a curva . O objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função e qual é o maior conjunto onde ela é contínua. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções e seus domínios, além dos conceitos de continuidade. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhum problema como divisão por zero ou raiz de número negativo.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente da função :
  1. Componente : é uma constante, não depende de , então está definida para todo .
  2. Componente : . Aqui, é a função exponencial, que está definida para todo número real . Multiplicando por , não há restrições.
  3. Componente : . Potências de estão definidas para todo número real .

Passo 4

Como todas as componentes de estão definidas para qualquer valor real de , o domínio de é todo o conjunto dos números reais. Em notação matemática:
í

Passo 5

Agora vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em algum ponto se não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto. No caso das funções polinomiais e exponenciais, como as que temos aqui, elas são contínuas em todo o seu domínio.

Passo 6

Como o domínio de é todos os números reais ( ) e cada componente é contínua em todo esse domínio, concluímos que é contínua em todo .

Resposta

O domínio de é todos os números reais ( ) e a função é contínua em todo esse conjunto.

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