Calcule as integrais de frações polinomiais: integral 14 x^2-12 x+9 d x.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de uma fração polinomial: . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo integral, especialmente técnicas de completar o quadrado e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 times 2x times 3 + 3^2 = (2x - 3)^2 . Isso ajuda a tornar a integral mais fácil de resolver. Observamos que:
integral 1(2x - 3)^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dudx = 2 Rightarrow dx = du2 . Então, a derivada de integral 1u^2 cdot du2 = 12 integral u^-2 , du em relação a é:
Substituindo na integral original:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) . A regra básica de integração diz que:
12 integral u^-2 , du = 12 ( u^-1-1 ) + C = -12u + C
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original -12u + C = -12(2x - 3) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de -12(2x - 3) + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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