Calcule as seguintes integrais de inversos de senos e cossenos: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Às vezes, é útil reescrever expressões trigonométricas para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos tentar completar o quadrado ou usar uma substituição que nos ajude a simplificar a expressão. Observando , sabemos que podemos reescrevê-la usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Lembre que . Mas para simplificar, vamos usar a substituição . Porém, para manter as coisas mais diretas, vamos multiplicar o numerador e o denominador por para facilitar a integração.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador por :
Isso simplifica o denominador para .

Passo 6

Agora, a integral fica:
Podemos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos chamar , então .

Passo 7

Substituindo, a integral se torna:
Agora, temos uma forma que envolve apenas , o que é mais fácil de integrar.

Passo 8

Para integrar uma expressão como , usamos a fórmula:
Neste caso, e .

Passo 9

Calculando :

Passo 10

Aplicando a fórmula:
Simplificando os coeficientes:

Passo 11

Voltando à variável original , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a:

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