Calcule as seguintes integrais de inversos de senos e cossenos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Às vezes, é útil reescrever expressões trigonométricas para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos tentar completar o quadrado ou usar uma substituição que nos ajude a simplificar a expressão. Observando , sabemos que podemos reescrevê-la usando identidades trigonométricas.
Passo 4
Lembre que . Mas para simplificar, vamos usar a substituição
. Porém, para manter as coisas mais diretas, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
para facilitar a integração.
Passo 5
Multiplicando numerador e denominador por
:
Isso simplifica o denominador para .
Passo 6
Agora, a integral fica:
Podemos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos chamar
, então
.
Passo 7
Substituindo, a integral se torna:
Agora, temos uma forma que envolve apenas , o que é mais fácil de integrar.
Passo 8
Para integrar uma expressão como , usamos a fórmula:
Neste caso,
e
.
Passo 9
Calculando
:
Passo 10
Aplicando a fórmula:
Simplificando os coeficientes:
Passo 11
Voltando à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral é igual a:
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Calcule as integrais de frações polinomiais:
.
Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes:
.
Utilizando a integral de Riemann, calcular a área da figura delimitada pala reta
, definida no intervalo
, eixo das abscissas e a reta vertical
.
Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir:
.