Calcule as seguintes integrais de potências de funções trigonométricas: integral sec ^5(x) tg(x) d x.

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral . Isso envolve funções trigonométricas, especificamente as funções secante ( ) e tangente ( ). Vamos precisar usar o método de substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observando a integral, percebemos que u = sec(x) é uma boa candidata para substituição porque a derivada de é , que já aparece na integral.
Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = sec(x) tan(x) em relação a du = sec(x) tan(x) , dx para encontrar sec(x) tan(x) , dx = du :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral sec^5(x) tan(x) , dx = integral sec^4(x) cdot sec(x) tan(x) , dx . A integral fica:
integral sec^4(x) cdot sec(x) tan(x) , dx = integral u^4 , du
Substituindo por e por :

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u^55 + C = sec^5(x)5 + C de volta por :

Resposta

integral sec^5(x) tan(x) , dx = sec^5(x)5 + C

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