Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes:
.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para a gente integrar a função
usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como funciona a integração por partes e como lidar com integrais que envolvem logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral interna:
. Isso significa que a gente precisa encontrar a antiderivada de
em relação a
, e depois avaliar entre os limites de 1 e
.
Passo 3
Para integrar
, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, escolhendo
e
, então precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Agora, voltamos à integral interna com os limites de 1 a
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, precisamos integrar o resultado da integral interna em relação a
:
Vamos separar essa integral em partes:
Passo 8
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando com
, novamente usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Agora, resolvemos as demais integrais:
Passo 10
Juntando tudo:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral
resulta em:
Onde
é a constante de integração.
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.
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h)
h)
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.
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.