Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: .

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente integrar a função usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como funciona a integração por partes e como lidar com integrais que envolvem logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral interna: . Isso significa que a gente precisa encontrar a antiderivada de em relação a , e depois avaliar entre os limites de 1 e .

Passo 3

Para integrar , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, escolhendo e , então precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando as derivadas e integrais necessárias:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 6

Agora, voltamos à integral interna com os limites de 1 a :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, precisamos integrar o resultado da integral interna em relação a :
Vamos separar essa integral em partes:

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando com , novamente usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Agora, resolvemos as demais integrais:

Passo 10

Juntando tudo:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral resulta em:
Onde é a constante de integração.

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h)
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