Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: integral(integral1^x ln (t) d t) d x.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente integrar a função usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar entender como funciona a integração por partes e como lidar com integrais que envolvem logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral interna: . Isso significa que a gente precisa encontrar a antiderivada de em relação a , e depois avaliar entre os limites de 1 e .

Passo 3

Para integrar integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, escolhendo e , então precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando as derivadas e integrais necessárias:
u = ln(t) Rightarrow du = 1t dt
dv = dt Rightarrow v = t

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln(t) , dt = t ln(t) - integral t cdot 1t dt = t ln(t) - integral 1 , dt
= t ln(t) - t + C

Passo 6

Agora, voltamos à integral interna com os limites de 1 a integral1^x ln(t) , dt = [ t ln(t) - t ]1^x = ( x ln(x) - x ) - (1 cdot ln(1) - 1) :
= x ln(x) - x - (0 - 1) = x ln(x) - x + 1
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, precisamos integrar o resultado da integral interna em relação a integral ( x ln(x) - x + 1 ) dx :
integral x ln(x) , dx - integral x , dx + integral 1 , dx
Vamos separar essa integral em partes:

Passo 8

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Começando com u = ln(x) Rightarrow du = 1x dx , novamente usamos a integração por partes, onde:
dv = x , dx Rightarrow v = x^22
integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - integral x^22 cdot 1x dx = x^22 ln(x) - 12 integral x , dx
Aplicando a fórmula:
= x^22 ln(x) - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln(x) - x^24 + C

Passo 9

Agora, resolvemos as demais integrais:
integral x , dx = x^22 + C
integral 1 , dx = x + C

Passo 10

Juntando tudo:
integral ( x ln(x) - x + 1 ) dx = ( x^22 ln(x) - x^24 ) - x^22 + x + C
Simplificando os termos:
= x^22 ln(x) - x^24 - 2x^24 + x + C = x^22 ln(x) - 3x^24 + x + C

Resposta

A integral x^22 ln(x) - 3x^24 + x + C resulta em:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados