Utilizando a integral de Riemann, calcular a área da figura delimitada pala reta , definida no intervalo , eixo das abscissas e a reta vertical .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da figura limitada pela reta no intervalo de até , pelo eixo das abscissas (que é o eixo ) e pela reta vertical . Vamos usar a integral de Riemann para isso, que é uma ferramenta matemática para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de Riemann. Basicamente, ela nos permite calcular a área sob uma curva dividindo essa área em fatias muito finas, somando todas essas fatias. No nosso caso, a curva é e o intervalo vai de 0 a 1.
Passo 3
A fórmula geral para a integral definida de uma função de até é:
Aqui, nossa função , e .
Passo 4
Vamos configurar a integral para o nosso problema:
Isso significa que vamos somar todas as pequenas áreas de largura e altura no intervalo de 0 a 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de é:
Então, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1: