Utilizando a integral de Riemann, calcular a área da figura delimitada pala reta y = x, definida no intervalo [0,1], eixo das abscissas e a reta vertical x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da figura limitada pela reta no intervalo de até , pelo eixo das abscissas (que é o eixo ) e pela reta vertical . Vamos usar a integral de Riemann para isso, que é uma ferramenta matemática para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de Riemann. Basicamente, ela nos permite calcular a área sob uma curva dividindo essa área em fatias muito finas, somando todas essas fatias. No nosso caso, a curva é e o intervalo vai de 0 a 1.

Passo 3

A fórmula geral para a integral definida de uma função de até é:
Aqui, nossa função , e .

Passo 4

Vamos configurar a integral para o nosso problema:
Isso significa que vamos somar todas as pequenas áreas de largura e altura no intervalo de 0 a 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. A antiderivada de é:
Então, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 1:

Resposta

A área da figura delimitada é unidades de área.

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