Calcule as integrais de frações polinomiais: integral 1x^2+3 x+6 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma fração polinomial: . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente às integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula de integração que envolve a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 3x + 6 = (x^2 + 3x + (32)^2) - (32)^2 + 6 = (x + 32)^2 + 154 . Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão para uma forma que a gente já sabe como integrar.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão completada na integral:
integral 1(x + 32)^2 + (raiz152)^2 , dx
Isso está na forma padrão , onde e .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração:
1raiz152 arctan(x + 32raiz152) + C = 2raiz15 arctan(2x + 3raiz15) + C

Resposta

A integral 2raiz15 arctan(2x + 3raiz15) + C é igual a:

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