Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: integral e^w cos (w) d w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para integrar a função usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica baseada na regra do produto para derivadas e é dada pela fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse caso, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos identificar u = e^w Rightarrow du = e^w , dw e dv = cos(w) , dw Rightarrow v = integral cos(w) , dw = sin(w) na nossa integral :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral e^w cos(w) , dw = u cdot v - integral v , du
= e^w sin(w) - integral sin(w) e^w , dw

Passo 5

Observamos que agora temos uma nova integral u = e^w Rightarrow du = e^w , dw para resolver. Vamos aplicar novamente a técnica de integração por partes a essa integral. Vamos definir:
dv = sin(w) , dw Rightarrow v = -cos(w)

Passo 6

Aplicando a integração por partes nessa nova integral:
integral e^w sin(w) , dw = u cdot v - integral v , du
= -e^w cos(w) - integral (-cos(w)) e^w , dw
= -e^w cos(w) + integral e^w cos(w) , dw

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa equação original:
integral e^w cos(w) , dw = e^w sin(w) - ( -e^w cos(w) + integral e^w cos(w) , dw )
= e^w sin(w) + e^w cos(w) - integral e^w cos(w) , dw

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I = integral e^w cos(w) , dw :
I = e^w sin(w) + e^w cos(w) - I
Substituindo na equação:

Passo 9

Agora, vamos resolver para I + I = e^w sin(w) + e^w cos(w) :
2I = e^w (sin(w) + cos(w))
I = e^w (sin(w) + cos(w))2 + C

Resposta

A integral de integral e^w cos(w) , dw = e^w (sin(w) + cos(w))2 + C em relação a é:

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