Calcule as integrais de frações polinomiais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma fração polinomial, que envolve um numerador e um denominador que são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, geralmente precisamos fazer uma divisão ou decomposição que simplifique a expressão, facilitando a integração. Vamos precisar usar técnicas de divisão polinomial e completar o quadrado no denominador para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os graus do numerador e do denominador. O numerador
é de primeiro grau, e o denominador
é de segundo grau. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer uma divisão polinomial. Em vez disso, podemos tentar reescrever o numerador de uma forma que se relacione com o denominador.
Passo 3
Vamos tentar expressar o numerador
como uma combinação da derivada do denominador. A derivada de
em relação a
é
. Queremos escrever
como
, onde
e
são constantes que vamos determinar.
Então:
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Simplificando:
A primeira integral é direta, pois o numerador é a derivada do denominador:
Agora, para a segunda integral, vamos completar o quadrado no denominador:
Então:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determinar a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Calcule as integrais de frações polinomiais:
.
Resolver as seguintes integrais definidas:
a)
a)
Utilizando a integral de Riemann, calcular a área da figura delimitada pala reta
, definida no intervalo
, eixo das abscissas e a reta vertical
.