Calcule as integrais de frações polinomiais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração polinomial, que envolve um numerador e um denominador que são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, geralmente precisamos fazer uma divisão ou decomposição que simplifique a expressão, facilitando a integração. Vamos precisar usar técnicas de divisão polinomial e completar o quadrado no denominador para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os graus do numerador e do denominador. O numerador é de primeiro grau, e o denominador é de segundo grau. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer uma divisão polinomial. Em vez disso, podemos tentar reescrever o numerador de uma forma que se relacione com o denominador.

Passo 3

Vamos tentar expressar o numerador como uma combinação da derivada do denominador. A derivada de em relação a é . Queremos escrever como , onde e são constantes que vamos determinar.
Então:
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
Simplificando:
A primeira integral é direta, pois o numerador é a derivada do denominador:
Agora, para a segunda integral, vamos completar o quadrado no denominador:
Então:
Portanto, substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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a)
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