Calcule as integrais de frações polinomiais: integral 5 x-6x^2+x+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração polinomial, que envolve um numerador e um denominador que são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, geralmente precisamos fazer uma divisão ou decomposição que simplifique a expressão, facilitando a integração. Vamos precisar usar técnicas de divisão polinomial e completar o quadrado no denominador para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os graus do numerador e do denominador. O numerador é de primeiro grau, e o denominador é de segundo grau. Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer uma divisão polinomial. Em vez disso, podemos tentar reescrever o numerador de uma forma que se relacione com o denominador.

Passo 3

Vamos tentar expressar o numerador 5x - 6 = A(2x + 1) + B como uma combinação da derivada do denominador. A derivada de 5x - 6 = 2A x + A + B em relação a 2A = 5 Rightarrow A = 52 é A + B = -6 Rightarrow 52 + B = -6 Rightarrow B = -6 - 52 = -172 . Queremos escrever integral 5x - 6x^2 + x + 1 , dx = integral 52(2x + 1) - 172x^2 + x + 1 , dx como , onde e são constantes que vamos determinar.
Então:
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral 52(2x + 1)x^2 + x + 1 , dx - integral 172x^2 + x + 1 , dx
Simplificando:
52 integral 2x + 1x^2 + x + 1 , dx - 172 integral 1x^2 + x + 1 , dx
A primeira integral é direta, pois o numerador é a derivada do denominador:
52 ln|x^2 + x + 1| - 172 integral 1x^2 + x + 1 , dx
Agora, para a segunda integral, vamos completar o quadrado no denominador:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
Então:
integral 1x^2 + x + 1 , dx = integral 1(x + 12)^2 + (raiz32)^2 , dx = 2raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C
Portanto, substituindo de volta:
52 ln|x^2 + x + 1| - 172 cdot 2raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C = 52 ln|x^2 + x + 1| - 17raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C

Resposta

A integral 52 ln|x^2 + x + 1| - 17raiz3 arctan(2x + 1raiz3) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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