Resolver as seguintes integrais definidas:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse problema está na área do cálculo, mais especificamente em integrais definidas e substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações envolvendo funções trigonométricas e aplicar uma substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que no denominador temos
, o que sugere que uma substituição envolvendo
pode ser útil. Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica a integral, pois
se torna
. Além disso, precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de
:
- Quando
: - Quando
:
Passo 3
Substituindo na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples:
é uma integral conhecida.
Passo 4
A integral
é a definição da função arco-tangente. Portanto:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do
. Vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1.
Passo 5
Aplicando os limites:
Sabemos que:
-
(porque ) -
Resposta
Portanto, o valor da integral é:
Exercícios relacionados
Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes:
.
Calcule as seguintes integrais de potências de funções trigonométricas:
.
Calcule as integrais de frações polinomiais:
.
Determinar a área da região delimitada pelas curvas
e
.