Resolver as seguintes integrais definidas:
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse problema está na área do cálculo, mais especificamente em integrais definidas e substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações envolvendo funções trigonométricas e aplicar uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que no denominador temos , o que sugere que uma substituição envolvendo pode ser útil. Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, derivando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica a integral, pois se torna . Além disso, precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 3

Substituindo na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples: é uma integral conhecida.

Passo 4

A integral é a definição da função arco-tangente. Portanto:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do . Vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1.

Passo 5

Aplicando os limites:
Sabemos que:
  • (porque )

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: .
Calcule as seguintes integrais de potências de funções trigonométricas: .
Calcule as integrais de frações polinomiais: .
Determinar a área da região delimitada pelas curvas e .