Resolver as seguintes integrais definidas:
g) integral0^pi2 cos x d x1+sen^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse problema está na área do cálculo, mais especificamente em integrais definidas e substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações envolvendo funções trigonométricas e aplicar uma substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que no denominador temos u = sin x , o que sugere que uma substituição envolvendo dudx = cos x pode ser útil. Vamos fazer a seguinte substituição:
du = cos x , dx
Agora, derivando ambos os lados em relação a u = sin 0 = 0 :
u = sin pi2 = 1
Isso simplifica a integral, pois se torna . Além disso, precisamos ajustar os limites de integração para termos em termos de :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral0^pi2 cos x1+sin^2x , dx = integral0^1 11 + u^2 , du
Agora, a integral ficou mais simples: é uma integral conhecida.

Passo 4

A integral integral 11 + u^2 , du = arctan u + C é a definição da função arco-tangente. Portanto:
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos do . Vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1.

Passo 5

Aplicando os limites:
[ arctan u ]0^1 = arctan 1 - arctan 0
Sabemos que:
  • (porque )

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi4

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