Determinar a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. A gente vai usar cálculo, mais especificamente integral definida, para calcular essa área. Primeiro, a gente precisa descobrir onde essas duas curvas se encontram.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção das curvas, vamos igualar as duas equações:
Vamos rearranjar essa equação para formar uma equação quadrática:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
Portanto, temos:
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual delas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre -3 e -1, por exemplo,
:
Como
nesse intervalo, a curva
está acima de
.
Para encontrar a área, vamos integrar a diferença entre as duas funções de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos avaliar essa antiderivada de
a
:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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.
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g)
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a)
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