Calcule as integrais de frações polinomiais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração polinomial, que é basicamente uma divisão entre dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar frações parciais e conhecimentos de álgebra para fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador . Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a integração. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, podemos fatorar o denominador:
Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação. Vamos escolher para eliminar :
Fazendo o mesmo para para encontrar :

Passo 5

Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando a integral:
Podemos combinar os logaritmos em uma única expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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