Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração polinomial, que é basicamente uma divisão entre dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar frações parciais e conhecimentos de álgebra para fatorar o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador . Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a integração. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
Então, as raízes são e .
Passo 3
Com as raízes encontradas, podemos fatorar o denominador:
Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados por :
Agora, escolhemos valores de que simplifiquem a equação. Vamos escolher para eliminar :
Fazendo o mesmo para para encontrar :
Passo 5
Agora que temos e , podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que , onde é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando a integral:
Podemos combinar os logaritmos em uma única expressão:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.