Calcule as integrais de frações polinomiais: integral 1x^2-3 x-6 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma fração polinomial, que é basicamente uma divisão entre dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar frações parciais e conhecimentos de álgebra para fatorar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador x = 3 pm raiz(-3)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6)2 cdot 1 = 3 pm raiz9 + 242 = 3 pm raiz332 . Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a integração. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, podemos fatorar o denominador:
x^2 - 3x - 6 = (x - 3 + raiz332)(x - 3 - raiz332)
Agora, vamos expressar a fração original como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes 1x^2 - 3x - 6 = Ax - 3 + raiz332 + Bx - 3 - raiz332 e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(x - 3 - raiz332) + B(x - 3 + raiz332) e 1 = A(3 + raiz332 - 3 - raiz332) = A(2raiz332) = Araiz33 , multiplicamos ambos os lados por Rightarrow A = 1raiz33 :
1 = B(3 - raiz332 - 3 + raiz332) = B(-2raiz332) = -Braiz33
Agora, escolhemos valores de Rightarrow B = -1raiz33 que simplifiquem a equação. Vamos escolher para eliminar :
Fazendo o mesmo para para encontrar :

Passo 5

Agora que temos 1x^2 - 3x - 6 = 1raiz33 cdot 1x - 3 + raiz332 - 1raiz33 cdot 1x - 3 - raiz332 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^2 - 3x - 6 , dx = 1raiz33 integral 1x - 3 + raiz332 , dx - 1raiz33 integral 1x - 3 - raiz332 , dx
Sabemos que , onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando a integral:
= 1raiz33 ln |x - 3 + raiz332| - 1raiz33 ln |x - 3 - raiz332| + C
Podemos combinar os logaritmos em uma única expressão:
= 1raiz33 ln |x - 3 + raiz332x - 3 - raiz332| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados