Calcule as seguintes integrais de inversos de senos e cossenos: integral d t1-cos (t).

Passo 1

Beleza, você tem que calcular a integral de em relação a . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Vamos precisar usar umas manhas de álgebra e identidades trigonométricas pra simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1 - cos(t) = 2 sin^2(t2) pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica de meio ângulo. Sabemos que:
Essa identidade vai nos ajudar a simplificar o denominador.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral dt1 - cos(t) = integral dt2 sin^2(t2) = 12 integral dtsin^2(t2)
Agora, a integral ficou mais limpa e podemos seguir.

Passo 4

Sabemos que 12 integral csc^2(t2) dt é igual a , e a integral de é conhecida. Então:
A integral de em relação a é , então precisamos ajustar pela cadeia de substituição.

Passo 5

Fazendo uma substituição simples, seja 12 integral csc^2(u) cdot 2 du = integral csc^2(u) du = -cot(u) + C , então ou . Substituindo na integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original -cot(t2) + C , temos:
Então, a integral simplificada é isso mesmo.

Resposta

integral dt1 - cos(t) = -cot(t2) + C

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