Calcule as seguintes integrais de inversos de senos e cossenos:
.
Passo 1
Beleza, você tem que calcular a integral de
em relação a
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções trigonométricas. Vamos precisar usar umas manhas de álgebra e identidades trigonométricas pra simplificar essa expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica de meio ângulo. Sabemos que:
Essa identidade vai nos ajudar a simplificar o denominador.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, a integral ficou mais limpa e podemos seguir.
Passo 4
Sabemos que
é igual a
, e a integral de
é conhecida. Então:
A integral de
em relação a
é
, então precisamos ajustar pela cadeia de substituição.
Passo 5
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando para a variável original
, temos:
Então, a integral simplificada é isso mesmo.