Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de
a
. Vamos usar técnicas de integração que estudamos, como a integração por partes. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Calculando
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
Vamos simplificar essa fração:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Resolva cada parte separadamente:
-
-
Para
, fazemos uma substituição: Seja, então A integral se torna:Essa integral pode ser resolvida usando frações parciais:Resolvendo para, encontramos: Então:Voltando para:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é:
Simplificando, temos:
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Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir:
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