Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Vamos usar técnicas de integração que estudamos, como a integração por partes. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
Vamos simplificar essa fração:
Então, a integral se torna:

Passo 7

Resolva cada parte separadamente:
  1. Para , fazemos uma substituição:
    Seja , então
    A integral se torna:
    Essa integral pode ser resolvida usando frações parciais:
    Resolvendo para , encontramos:
    Então:
    Voltando para :

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando em :
E em :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
Simplificando, temos:

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