Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: integral0^pi4 e^2 x arctg(e^2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Vamos usar técnicas de integração que estudamos, como a integração por partes. Para isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos definir:
u = arctan(e^2x) Rightarrow du
dv = e^2x dx Rightarrow v
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = ddx arctan(e^2x) dx = 11 + e^4x cdot 2e^2x dx = 2e^2x1 + e^4x dx :
Sabemos que a derivada de v = integral e^2x dx = 12 e^2x em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^2x arctan(e^2x) dx = arctan(e^2x) cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 2e^2x1 + e^4x dx
Simplificando a expressão:
= 12 e^2x arctan(e^2x) - integral e^4x1 + e^4x dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
integral e^4x1 + e^4x dx
Vamos simplificar essa fração:
e^4x1 + e^4x = 1 - 11 + e^4x
Então, a integral se torna:
integral (1 - 11 + e^4x) dx = integral 1 , dx - integral 11 + e^4x dx

Passo 7

Resolva cada parte separadamente:
  1. integral 11 + t^2 cdot dt2t = 12 integral 1t(1 + t^2) dt
  2. Para 1t(1 + t^2) = At + Bt + C1 + t^2 , fazemos uma substituição:
    Seja A = 1, B = -1, C = 0 , então 12 integral ( 1t - t1 + t^2 ) dt = 12 (ln|t| - 12 ln|1 + t^2|) + C
    A integral se torna:
    = 12 ln(e^2x) - 14 ln(1 + e^4x) + C = x - 14 ln(1 + e^4x) + C
    Essa integral pode ser resolvida usando frações parciais:
    Resolvendo para , encontramos:
    Então:
    Voltando para :

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
12 e^2x arctan(e^2x) - ( x - 14 ln(1 + e^4x) ) + C
Simplificando:
12 e^2x arctan(e^2x) - x + 14 ln(1 + e^4x) + C

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 12 e^2x arctan(e^2x) - x + 14 ln(1 + e^4x) ]0^pi4 a 12 e^pi2 arctan(e^pi2) - pi4 + 14 ln(1 + e^pi) :
12 e^0 arctan(e^0) - 0 + 14 ln(1 + e^0) = 12 cdot 1 cdot arctan(1) + 14 ln(2)
Calculando em = 12 cdot pi4 + 14 ln(2) = pi8 + 14 ln(2) :
E em :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
12 e^pi2 arctan(e^pi2) - pi4 + 14 ln(1 + e^pi) - ( pi8 + 14 ln(2) )
Simplificando, temos:
12 e^pi2 arctan(e^pi2) - 3pi8 + 14 ln(1 + e^pi2)

Exercícios relacionados