Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: integral arctg(x) d x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para integrar a função usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente utilizando a integração por partes, que é útil quando a integral envolve o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função serão escolhidas como arctg(x) e u na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
No nosso caso, a função a ser integrada é apenas . Para facilitar a aplicação da fórmula, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos determinar du e v.
  • Derivando u:
  • Integrando du = ddx arctg(x) , dx = 11 + x^2 , dx para encontrar dv:
v

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
integral x1 + x^2 , dx
Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja w = 1 + x^2, então dw = 2x , dx, ou seja, x , dx = dw2. Substituindo na integral:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln(1 + x^2) + C

Passo 6

Voltando à expressão inicial, substituímos a integral resolvida:

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados