Integre as funções a seguir usando a técnica de integração por partes: .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para integrar a função usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente utilizando a integração por partes, que é útil quando a integral envolve o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função serão escolhidas como e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
No nosso caso, a função a ser integrada é apenas . Para facilitar a aplicação da fórmula, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos determinar e .
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar :

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
Para isso, fazemos uma substituição simples:
Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à expressão inicial, substituímos a integral resolvida:

Resposta

A integral de é:

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Seguindo as etapas descritas esboce o gráfico da curva .
Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .
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Calcule as seguintes integrais de inversos de senos e cossenos: .