Calcule as integrais de frações polinomiais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de frações polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de decomposição em frações parciais e completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Às vezes, é útil completar o quadrado para simplificar a expressão. Vamos fazer isso:
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos reescrever o numerador de uma forma que facilite a integração. Podemos expressar como:
Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Aqui, podemos fazer uma substituição simples. Seja , então . Isso simplifica a integral para:
Segunda integral:
Esse tipo de integral se assemelha à forma da integral de , que é . Aqui, , então . Aplicando isso:

Resposta

Juntando as duas integrais resolvidas, temos que a integral original é:

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Calcule as seguintes integrais de inversos de senos e cossenos: .
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