Calcule as integrais de frações polinomiais: integral (2 f+1) d ff^2-2 f+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral de uma fração polinomial:
integral (2f + 1) , dff^2 - 2f + 4
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de frações polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de decomposição em frações parciais e completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: f^2 - 2f + 4 = (f^2 - 2f + 1) + 3 = (f - 1)^2 + 3 . Às vezes, é útil completar o quadrado para simplificar a expressão. Vamos fazer isso:
integral 2f + 1(f - 1)^2 + 3 , df
Agora, a integral fica:

Passo 3

Vamos reescrever o numerador 2f + 1 = 2(f - 1) + 3 de uma forma que facilite a integração. Podemos expressar integral 2(f - 1) + 3(f - 1)^2 + 3 , df = integral 2(f - 1)(f - 1)^2 + 3 , df + integral 3(f - 1)^2 + 3 , df como:
Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
integral 2(f - 1)(f - 1)^2 + 3 , df
Aqui, podemos fazer uma substituição simples. Seja integral duu = ln|u| + C = ln((f - 1)^2 + 3) + C , então integral 3(f - 1)^2 + 3 , df . Isso simplifica a integral para:
integral 3(f - 1)^2 + 3 , df = raiz3 tan^-1(f - 1raiz3) + C
Segunda integral:
Esse tipo de integral se assemelha à forma da integral de , que é . Aqui, , então . Aplicando isso:

Resposta

Juntando as duas integrais resolvidas, temos que a integral original é:
ln(f^2 - 2f + 4) + raiz3 tan^-1(f - 1raiz3) + C

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