Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática em . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos integrais com termos como .
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar . Essa escolha é porque , o que vai facilitar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral vira:
Passo 6
A integral é uma integral padrão que podemos resolver usando integração por partes. A fórmula para essa integral é:
Passo 7
Aplicando isso na nossa integral, temos:
Passo 8
Agora, precisamos retornar à variável original . Lembrando que fizemos , então: