Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática em . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos integrais com termos como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar . Essa escolha é porque , o que vai facilitar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:

Passo 4

Substituímos e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral vira:

Passo 6

A integral é uma integral padrão que podemos resolver usando integração por partes. A fórmula para essa integral é:

Passo 7

Aplicando isso na nossa integral, temos:

Passo 8

Agora, precisamos retornar à variável original . Lembrando que fizemos , então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais de frações polinomiais: .
Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .