Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: integral raiz3+y^2 d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma raiz quadrada de uma expressão quadrática em . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos integrais com termos como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar . Essa escolha é porque , o que vai facilitar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dy = raiz3 sec^2 theta , dtheta em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:

Passo 4

Substituímos integral raiz3 + y^2 , dy = integral raiz3 + 3 tan^2 theta cdot raiz3 sec^2 theta , dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz3 + 3 tan^2 theta = raiz3(1 + tan^2 theta) = raiz3 sec theta
Então, a integral vira:
integral raiz3 sec theta cdot raiz3 sec^2 theta , dtheta = 3 integral sec^3 theta , dtheta

Passo 6

A integral integral sec^3 theta , dtheta = 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| | + C é uma integral padrão que podemos resolver usando integração por partes. A fórmula para essa integral é:

Passo 7

Aplicando isso na nossa integral, temos:
3 ( 12 sec theta tan theta + 12 ln |sec theta + tan theta| ) + C = 32 sec theta tan theta + 32 ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 8

Agora, precisamos retornar à variável original tan theta = yraiz3 e sec theta = raiz1 + tan^2 theta = raiz1 + y^23 = raiz3 + y^2raiz3 . Lembrando que fizemos , então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
32 cdot raiz3 + y^2raiz3 cdot yraiz3 + 32 ln | raiz3 + y^2raiz3 + yraiz3 | + C
Simplificando:
y raiz3 + y^22 + 32 ln ( y + raiz3 + y^2 ) + C

Resposta

A integral y raiz3 + y^22 + 32 ln ( y + raiz3 + y^2 ) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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