Passo 1

Então, a gente tem que achar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir os valores de e por e na função. Isso é chamado de substituição direta.
Substituindo:
Então, parece que o limite é .

Passo 3

Mas, para ter certeza de que o limite realmente existe e é , precisamos verificar se independente de como a gente se aproxima de , o resultado sempre será o mesmo. Vamos testar por caminhos diferentes.

Passo 4

Caminho 1: Vamos aproximar-se de mantendo e deixando ir para .
Substituindo na função:
Como , , então o limite é .

Passo 5

Caminho 2: Agora, vamos deixar e deixar ir para .
Substituindo na função:
Aqui, o limite também é .

Passo 6

Caminho 3: Vamos aproximar-se de seguindo uma linha onde , onde é uma constante.
Substituindo:
Quando , , e . Então:
O limite continua sendo .

Passo 7

Como em todos os caminhos que testamos o limite foi , podemos concluir que o limite da função quando é de fato .

Resposta

Exercícios relacionados

Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .
Calcule as integrais de frações polinomiais: .
Resolva os itens a seguir.
Se é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto , mostre que