lim (x, y) (1,0) x sen yx^2+1

Passo 1

Então, a gente tem que achar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir os valores de 1 cdot sen 01^2+1 = 1 cdot 02 = 02 = 0 e por e na função. Isso é chamado de substituição direta.
Substituindo:
Então, parece que o limite é .

Passo 3

Mas, para ter certeza de que o limite realmente existe e é , precisamos verificar se independente de como a gente se aproxima de , o resultado sempre será o mesmo. Vamos testar por caminhos diferentes.

Passo 4

Caminho 1: Vamos aproximar-se de 1 cdot sen y1^2+1 = sen y2 mantendo e deixando ir para .
Substituindo na função:
Como , , então o limite é .

Passo 5

Caminho 2: Agora, vamos deixar x cdot sen 0x^2+1 = x cdot 0x^2+1 = 0x^2+1 = 0 e deixar ir para .
Substituindo na função:
Aqui, o limite também é .

Passo 6

Caminho 3: Vamos aproximar-se de x sen(k(x -1))x^2+1 seguindo uma linha onde 1 cdot k(1 -1)1^2+1 = 02 = 0 , onde é uma constante.
Substituindo:
Quando , , e . Então:
O limite continua sendo .

Passo 7

Como em todos os caminhos que testamos o limite foi , podemos concluir que o limite da função quando é de fato .

Resposta

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