Passo 1
Então, a gente tem que achar o limite da função quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e algumas propriedades trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece se a gente simplesmente substituir os valores de
e
por
e
na função. Isso é chamado de substituição direta.
Substituindo:
Então, parece que o limite é
.
Passo 3
Mas, para ter certeza de que o limite realmente existe e é
, precisamos verificar se independente de como a gente se aproxima de
, o resultado sempre será o mesmo. Vamos testar por caminhos diferentes.
Passo 4
Caminho 1: Vamos aproximar-se de
mantendo
e deixando
ir para
.
Substituindo na função:
Como
, , então o limite é
.
Passo 5
Caminho 2: Agora, vamos deixar
e deixar
ir para
.
Substituindo na função:
Aqui, o limite também é
.
Passo 6
Caminho 3: Vamos aproximar-se de
seguindo uma linha onde
, onde
é uma constante.
Substituindo:
Quando
,
, e . Então:
O limite continua sendo
.
Passo 7
Como em todos os caminhos que testamos o limite foi
, podemos concluir que o limite da função quando
é de fato
.
Resposta
Exercícios relacionados
Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir:
.
Calcule as integrais de frações polinomiais:
.
Resolva os itens a seguir.
Se é o segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
, mostre que
Se