Resolver as seguintes integrais definidas:
a) integral(x cdot sec x cdot sec x cdot tg x-2^x^2+1 cdot x) d x

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos resolver a integral . O conteúdo envolve integração de funções trigonométricas e exponenciais. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral x cdot sec^2 x cdot tan x , dx - integral 2^x^2+1 cdot x , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: .
Aqui, percebemos que é a derivada de . Isso sugere que podemos usar substituição para simplificar a integral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição du = sec^2 x , dx . Então, a derivada de integral x cdot u , du em relação a é:
Agora, substituindo na integral:
No entanto, ainda temos o termo em termos de , o que complica a integração. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 5

Na integração por partes, usamos a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • x cdot u^22 - integral u^22 , dx x tan^2 x2 - 12 integral tan^2 x , dx
Aplicando na fórmula:
Voltando à substituição :

Passo 6

Sabemos que x tan^2 x2 - 12 integral (sec^2 x - 1) , dx . Substituindo na integral:
x tan^2 x2 - 12 (tan x - x) + C
Agora, resolvendo as integrais:
x tan^2 x2 - tan x2 + x2 + C
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral: 2^x^2+1 = 2 cdot 2^x^2 .
Primeiro, simplificamos a expressão:
2 integral x cdot 2^x^2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 8

Fazemos a substituição du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 . Então, a derivada de 2 cdot integral 2^u cdot du2 = integral 2^u , du em relação a integral 2^u , du = 2^uln 2 + C é:
2^x^2ln 2 + C
Substituindo na integral:
Sabemos que:
Voltando à substituição :

Resposta

A integral resolvida é:
x tan^2 x2 - tan x2 + x2 - 2^x^2ln 2 + C

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