Calcule as integrais:
(g) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos um produto de duas funções, como aqui temos . A fórmula básica é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
Para encontrar , vamos integrar :
Pois a integral de é .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, como a nossa integral é definida de 0 a 1/2, vamos calcular:
Primeiro, substituindo :
Agora, substituindo :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções:
.
Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Calcule as integrais:
(h)
Calcule as integrais:
(n) ;