Calcule as integrais:
(g) integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de cálculo integral, e para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos um produto de duas funções, como aqui temos integral u , dv = uv - integral v , du . A fórmula básica é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(pi x) dx Rightarrow v = integral cos(pi x) dx
Para encontrar v = 1pi sin(pi x) , vamos integrar :
Pois a integral de é .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cos(pi x) dx = uv - integral v , du = x cdot 1pi sin(pi x) - integral 1pi sin(pi x) dx
Simplificando:
= xpi sin(pi x) + 1pi^2 cos(pi x) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, como a nossa integral é definida de 0 a 1/2, vamos calcular:
[ xpi sin(pi x) + 1pi^2 cos(pi x) ]0^1/2
Primeiro, substituindo 12pi sin(pi cdot 12) + 1pi^2 cos(pi cdot 12) = 12pi cdot 1 + 1pi^2 cdot 0 = 12pi :
0pi sin(0) + 1pi^2 cos(0) = 0 + 1pi^2 cdot 1 = 1pi^2
Agora, substituindo 12pi - 1pi^2 :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral vale .

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