Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais dado por , onde é uma matriz específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz . Autovalores são valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Calculando o determinante da matriz :
Passo 6
Então, a equação característica fica:
Resolvendo esta equação, encontramos os autovalores:
Passo 7
Agora, para cada autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Passo 8
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é dada pela combinação linear das soluções correspondentes a cada par :
onde , e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde , e são constantes e , , são os autovetores correspondentes aos autovalores , e respectivamente.