Nos Problemas 1-12, ache a solução geral do sistema dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais dado por , onde é uma matriz específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz . Autovalores são valores que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Calculando o determinante da matriz :

Passo 6

Então, a equação característica fica:
Resolvendo esta equação, encontramos os autovalores:

Passo 7

Agora, para cada autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .
Para :
Resolvendo, encontramos um autovetor .

Passo 8

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é dada pela combinação linear das soluções correspondentes a cada par :
onde , e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde , e são constantes e , , são os autovetores correspondentes aos autovalores , e respectivamente.

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