Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral-1^1 d xx^3

Passo 1

Então, temos que calcular a integral imprópria . Essa é uma integral que envolve uma função que não está definida em , já que no denominador se anula aí. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais impróprias para ver se essa integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função a ser integrada não é definida em algum ponto do intervalo. No nosso caso, a função não está definida em , então precisamos dividir a integral em duas partes: de a e de a , aproximando-nos de por cada lado.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral, de lima to 0^- integral-1^a dxx^3 a integral dxx^3 = -12x^2 + C :
lima to 0^- [ -12a^2 + 12(-1)^2 ] = lima to 0^- ( -12a^2 + 12 )
Integrando , temos:
Avaliar de a :
À medida que se aproxima de pelo lado negativo, tende a . Portanto, essa parte da integral diverge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da integral, de limb to 0^+ integralb^1 dxx^3 a [ -12x^2 ]b^1 = ( -12(1)^2 ) - ( -12b^2 ) = -12 + 12b^2 :
Usando a mesma antiderivada:
À medida que se aproxima de pelo lado positivo, tende a . Portanto, essa parte da integral também diverge.

Passo 5

Como ambas as partes da integral divergente tendem a valores infinitos de sinais opostos, a integral completa não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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