Resolva as integrais impróprias abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o resto.

Passo 3

Vamos definir:
Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente a integração por partes. Vamos definir:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos anteriormente:
Distribuindo o 2:

Passo 8

Vamos reunir os termos semelhantes:
Somando as integrais:

Passo 9

Para encontrar , basta dividir ambos os lados por 5:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva as integrais impróprias abaixo:
Considere a função definida por .
Encontre a derivada de com relação a ;
Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Determine as integrais definidas: