Resolva as integrais impróprias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada, e
como o resto.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente a integração por partes. Vamos definir:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos anteriormente:
Distribuindo o 2:
Passo 8
Vamos reunir os termos semelhantes:
Somando as integrais:
Passo 9
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados por 5:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Considere a função
definida por
.
Encontre a derivada de com relação a
;
Encontre a derivada de
Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Determine as integrais definidas: