Resolva as integrais impróprias abaixo:
integral e^2 x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica fundamental em cálculo para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o resto.

Passo 3

Vamos definir:
u = e^2x e dv = sin(x) , dx
Agora, vamos calcular du = ddxe^2x , dx = 2e^2x , dx e v = integral sin(x) , dx = -cos(x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^2x sin(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^2x sin(x) , dx = e^2x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 integral e^2x cos(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^2x e dv = cos(x) , dx usando novamente a integração por partes. Vamos definir:
du = 2e^2x , dx
Calculando v = integral cos(x) , dx = sin(x) e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral e^2x cos(x) , dx = e^2x cdot sin(x) - integral sin(x) cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
integral e^2x cos(x) , dx = e^2x sin(x) - 2 integral e^2x sin(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos anteriormente:
integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 ( e^2x sin(x) - 2 integral e^2x sin(x) , dx )
Distribuindo o 2:
integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 e^2x sin(x) - 4 integral e^2x sin(x) , dx

Passo 8

Vamos reunir os termos semelhantes:
integral e^2x sin(x) , dx + 4 integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 e^2x sin(x)
Somando as integrais:
5 integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 e^2x sin(x)

Passo 9

Para encontrar integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 e^2x sin(x) 5 + C , basta dividir ambos os lados por 5:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral e^2x sin(x) , dx = -e^2x cos(x) + 2 e^2x sin(x) 5 + C

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