Resolva as integrais impróprias abaixo:
integral a traiz16 t^2+9 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral imprópria de . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que temos u = 16 t^2 + 9 . Vamos fazer uma substituição para tornar essa expressão mais simples. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudt = 32 t Rightarrow du = 32 t , dt em relação a t , dt = du32 para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos integral a traiz16 t^2+9 , dt = integral a traizu cdot du32 e = a32 integral u^0.5u^0.5 , du na integral original:
= a32 integral 1 , du
Simplificando os termos:
Como dividido por é 1, a integral fica bem mais simples:

Passo 5

Integrando a32 integral 1 , du = a32 cdot u + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original a32 cdot u + C = a32 cdot (16 t^2 + 9) + C substituindo = a32 cdot 16 t^2 + a32 cdot 9 + C = a2 t^2 + 9a32 + C de volta:
Podemos simplificar isso multiplicando:

Resposta

A integral de a2 t^2 + 9a32 + C é:
onde é a constante de integração.

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