Resolva as integrais impróprias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral imprópria de
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que temos
. Vamos fazer uma substituição para tornar essa expressão mais simples. Vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Como
dividido por
é 1, a integral fica bem mais simples:
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos à variável original
substituindo
de volta:
Podemos simplificar isso multiplicando:
Resposta
A integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
.
Encontre a derivada de com relação a
;
Encontre a derivada de
Determine as integrais definidas:
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes: