Resolva as integrais impróprias abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral imprópria de . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções que envolvem raízes quadradas e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que temos . Vamos fazer uma substituição para tornar essa expressão mais simples. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando os termos:
Como dividido por é 1, a integral fica bem mais simples:

Passo 5

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo de volta:
Podemos simplificar isso multiplicando:

Resposta

A integral de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere a função definida por .
Encontre a derivada de com relação a ;
Determine as integrais definidas:
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes: