Resolva as integrais impróprias abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função que é a soma de vários termos diferentes. Usaremos conceitos de cálculo integral, como integração de polinômios, funções exponenciais, logaritmos e funções radicais. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e, em alguns casos, usar substituições ou integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em integrais de cada termo individualmente. Isso facilita muito o processo. A integral dada é:
Podemos separar assim:

Passo 3

Vamos começar integrando cada termo separadamente.
  1. Integral de :
    A regra básica de integração para potências é:
    Aplicando para :
  2. Integral de :
    Podemos tirar a constante para fora da integral:
    Sabemos que:
    Então:
  3. Integral de :
    A integral de uma função exponencial com base diferente de é:
    Aplicando para :
  4. Integral de :
    Para integrar o logaritmo, usamos a técnica de integração por partes, onde:
    Escolhemos:
    Aplicando:
    Simplificando a segunda integral:
    Vamos fazer uma substituição , então .
    Substituindo:
    Mas , então .
    Substituindo de novo:
    Voltando para :
    Então, a integral completa fica:
  5. Integral de :
    é uma constante, então:
  6. Integral de :
    Podemos reescrever como e usar substituição.
    Seja , então .
    Substituindo:
    Voltando para :
  7. Integral de :
    Simplesmente:

Passo 4

Agora, juntando todas as integrais que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão, agrupando termos semelhantes:
  • Os termos com :
    Podemos combinar:
  • Os termos com logaritmos:
  • Os termos constantes:
  • O termo com a raiz:

Passo 6

Finalmente, colocando tudo junto de forma organizada:

Resposta

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Considere a função definida por .
Determine a função primitiva de ;
Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Determine as integrais definidas: