Resolva as integrais impróprias abaixo:
integral(x^3+12 x-3^x+ln (5 x-2)+ln 3-raiz3 x-5-4) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função que é a soma de vários termos diferentes. Usaremos conceitos de cálculo integral, como integração de polinômios, funções exponenciais, logaritmos e funções radicais. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e, em alguns casos, usar substituições ou integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em integrais de cada termo individualmente. Isso facilita muito o processo. A integral dada é:
integral(x^3 + 12x - 3^x + ln(5x - 2) + ln 3 - raiz3x - 5 - 4) dx
Podemos separar assim:
integral x^3 dx + integral 12x dx - integral 3^x dx + integral ln(5x - 2) dx + integral ln 3 , dx - integral raiz3x - 5 dx - integral 4 , dx

Passo 3

Vamos começar integrando cada termo separadamente.
  1. Integral de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C :
    A regra básica de integração para potências é:
    integral x^3 dx = x^44
    Aplicando para 12 integral 1x dx :
    integral 1x dx = ln|x|
  2. Integral de 12 ln|x| :
    Podemos tirar a constante integral a^x dx = a^xln a + C para fora da integral:
    integral 3^x dx = 3^xln 3
    Sabemos que:
    integral u , dv = uv - integral v , du
    Então:
    x ln(5x - 2) - integral x cdot 55x - 2 dx
  3. Integral de integral x cdot 5w cdot dw5 = integral xw dw :
    A integral de uma função exponencial com base diferente de integral w + 25w dw = 15 integral (1 + 2w) dw = 15 (w + 2 ln|w|) + C é:
    15 (5x - 2) + 25 ln|5x - 2| = x - 25 + 25 ln|5x - 2|
    Aplicando para x ln(5x - 2) - (x - 25 + 25 ln|5x - 2|) = x ln(5x - 2) - x + 25 - 25 ln|5x - 2| :
    integral ln 3 , dx = ln 3 cdot x
  4. Integral de integral u^1/2 cdot du3 = 13 integral u^1/2 du = 13 cdot u^3/232 + C = 29 u^3/2 + C :
    Para integrar o logaritmo, usamos a técnica de integração por partes, onde:
    29 (3x - 5)^3/2
    Escolhemos:
    • integral 4 dx = 4x
    Aplicando:
    Simplificando a segunda integral:
    Vamos fazer uma substituição , então .
    Substituindo:
    Mas , então .
    Substituindo de novo:
    Voltando para :
    Então, a integral completa fica:
  5. Integral de :
    é uma constante, então:
  6. Integral de :
    Podemos reescrever como e usar substituição.
    Seja , então .
    Substituindo:
    Voltando para :
  7. Integral de :
    Simplesmente:

Passo 4

Agora, juntando todas as integrais que calculamos:
x^44 + 12 ln|x| - 3^xln 3 + (x ln(5x - 2) - x + 25 - 25 ln|5x - 2|) + ln 3 cdot x - 29 (3x - 5)^3/2 - 4x + C

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão, agrupando termos semelhantes:
  • Os termos com x^44 + x ln(5x - 2) - x + ln 3 cdot x - 4x :
    x^44 + x ln(5x - 2) + (ln 3 - 5)x
    Podemos combinar:
    12 ln|x| - 25 ln|5x - 2|
  • Os termos com logaritmos:
    25 - 4x
  • Os termos constantes:
    - 29 (3x - 5)^3/2
  • O termo com a raiz:

Passo 6

Finalmente, colocando tudo junto de forma organizada:
integral(x^3 + 12x - 3^x + ln(5x - 2) + ln 3 - raiz3x - 5 - 4) dx = x^44 + x ln(5x - 2) + (ln 3 - 5)x + 12 ln|x| - 25 ln|5x - 2| - 29 (3x - 5)^3/2 + C

Resposta

x^44 + x ln(5x - 2) + (ln 3 - 5)x + 12 ln|x| - 25 ln|5x - 2| - 29 (3x - 5)^3/2 + C

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