Resolva as integrais impróprias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de uma função que é a soma de vários termos diferentes. Usaremos conceitos de cálculo integral, como integração de polinômios, funções exponenciais, logaritmos e funções radicais. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e, em alguns casos, usar substituições ou integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em integrais de cada termo individualmente. Isso facilita muito o processo. A integral dada é:
Podemos separar assim:
Passo 3
Vamos começar integrando cada termo separadamente.
-
Integral de
: A regra básica de integração para potências é:Aplicando para: -
Integral de
: Podemos tirar a constantepara fora da integral: Sabemos que:Então: -
Integral de
: A integral de uma função exponencial com base diferente deé: Aplicando para: -
Integral de
: Para integrar o logaritmo, usamos a técnica de integração por partes, onde:Escolhemos:Aplicando:Simplificando a segunda integral:Vamos fazer uma substituição, então . Substituindo:Mas, então . Substituindo de novo:Voltando para: Então, a integral completa fica: -
-
Integral de
: é uma constante, então: -
Integral de
: Podemos reescrevercomo e usar substituição. Seja, então . Substituindo:Voltando para: -
Integral de
: Simplesmente:
Passo 4
Agora, juntando todas as integrais que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar um pouco a expressão, agrupando termos semelhantes:
-
Os termos com
: Podemos combinar: -
Os termos com logaritmos:
-
Os termos constantes:
-
O termo com a raiz:
Passo 6
Finalmente, colocando tudo junto de forma organizada:
Resposta
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Considere a função
definida por
.
Determine a função primitiva de ;
Determine a função primitiva de
Calcule as integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Resolva as integrais impróprias abaixo:
Determine as integrais definidas: