Calcule as integrais impróprias.
(d) integral1^infty 1t^2 d t.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral imprópria, especificamente a integral de de 1 até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e antiderivadas.

Passo 2

Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função tem descontinuidades no intervalo. Neste caso, o limite superior é o infinito, então vamos reescrever a integral como um limite.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que pode ser escrito como . A antiderivada de é , desde que .

Passo 4

Aplicando essa regra, a antiderivada de é .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral imprópria usando limites:
integral1^infty 1t^2 dt = limb to infty integral1^b 1t^2 dt

Passo 6

Calculando a integral definida de 1 até integral1^b 1t^2 dt = [ -1t ]1^b = -1b - ( -11 ) = -1b + 1 :

Passo 7

Agora, calculamos o limite conforme limb to infty ( -1b + 1 ) = 0 + 1 = 1 tende ao infinito:

Resposta

A integral imprópria converge para 1.

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