Calcule as seguintes integrais definidas
© integral0^2(1+t^2t^4) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Isso está na área de Cálculo, especificamente em integrais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar termos com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
1 + t^2t^4 = 1t^4 + t^2t^4 = t^-4 + t^-2
Então, nossa integral fica:
integral0^2 t^-4 + t^-2 , dt

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra geral para integrar integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C (onde (n neq -1)) é:
integral t^-4 , dt = t^-3-3 = -13t^3 + C
Aplicando isso aos nossos termos:
Para integral t^-2 , dt = t^-1-1 = -1t + C :
Para :

Passo 4

Vamos agora calcular a integral definida, avaliando de 0 a 2:
[-13t^3 - 1t]0^2 = (-13(2)^3 - 12) - (-13(0)^3 - 10)

Passo 5

Aqui encontramos um problema! Quando tentamos avaliar em , temos termos como e , que não são definidos - eles tendem ao infinito. Isso significa que a integral está “explodindo” em .

Passo 6

Em Cálculo, quando uma integral definida tem um ponto onde a função se torna infinita dentro dos limites de integração, dizemos que a integral é “imprópria”. Para verificar se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para o infinito), analisamos o comportamento da função perto desse ponto problemático.

Passo 7

Neste caso, como a função tende ao infinito em e a taxa de crescimento é muito rápida ( e ), a integral não converge. Ou seja, ela não tem um valor finito.

Resposta

A integral diverge e não possui um valor finito.

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Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(d) integral-infty^infty cos xx^3 d x
Calcule as integrais impróprias.
(d) integral1^infty 1t^2 d t.
O que significa cada uma das integrais a seguir?
© integral-infty^infty f(x) d x
Calcule as integrais impróprias.
© integral0^3 1t^2 d t