Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(d) integral-infty^infty cos xx^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para determinar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor dessa integral. Vamos precisar usar conhecimentos de integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando vai para infinito e quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral impropria pode divergir se, ao tentar calcular o limite, ele resultar em infinito ou não existir. Então, para a nossa integral, vamos verificar os dois extremos: quando vai para e para , e também o comportamento perto de zero, já que a função tem no denominador.

Passo 3

Vamos começar analisando o comportamento da função quando tende para e . Sabemos que oscila entre -1 e 1, ou seja, ela não cresce nem diminui sem limites. Já cresce muito à medida que aumenta ou diminui. Portanto, para valores grandes de , a função tende a zero. Isso indica que a integral pode convergir nesses extremos.

Passo 4

Agora, o ponto crucial é o que acontece quando se aproxima de zero. A função pode ser problemática aqui porque o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a função cresça sem limites. Para entender melhor, podemos aproximar quando está perto de zero. Assim, a função se comporta como .
Sabemos que a integral tem um comportamento similar ao quando se aproxima de zero, e essa última diverge (ou seja, tende ao infinito). Portanto, a integral original também diverge por causa do comportamento perto de zero.

Resposta

A integral diverge.

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Calcule as integrais impróprias.
(d) integral1^infty 1t^2 d t.
Considere a seguinte função f(x)=4-2 x, e faça o que se pede:
(b) Calcule integral0^3|f(x)| d x
Calcule as seguintes integrais definidas
© integral0^2(1+t^2t^4) d t
O que significa cada uma das integrais a seguir?
© integral-infty^infty f(x) d x