Determine se as integrais abaixo são convergentes ou divergentes. Calcule o valor daquelas que são convergentes.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor dessa integral. Vamos precisar usar conhecimentos de integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando
vai para infinito e quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral impropria pode divergir se, ao tentar calcular o limite, ele resultar em infinito ou não existir. Então, para a nossa integral, vamos verificar os dois extremos: quando
vai para
e para
, e também o comportamento perto de zero, já que a função tem
no denominador.
Passo 3
Vamos começar analisando o comportamento da função
quando
tende para
e
. Sabemos que
oscila entre -1 e 1, ou seja, ela não cresce nem diminui sem limites. Já
cresce muito à medida que
aumenta ou diminui. Portanto, para valores grandes de
, a função
tende a zero. Isso indica que a integral pode convergir nesses extremos.
Passo 4
Agora, o ponto crucial é o que acontece quando
se aproxima de zero. A função
pode ser problemática aqui porque o denominador
se aproxima de zero, o que faz com que a função cresça sem limites. Para entender melhor, podemos aproximar
quando
está perto de zero. Assim, a função se comporta como
.
Sabemos que a integral
tem um comportamento similar ao
quando
se aproxima de zero, e essa última diverge (ou seja, tende ao infinito). Portanto, a integral original
também diverge por causa do comportamento perto de zero.
Resposta
A integral
diverge.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais impróprias.
(d) .
(d)
Considere a seguinte função
, e faça o que se pede:
(b) Calcule
(b) Calcule
Calcule as seguintes integrais definidas
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O que significa cada uma das integrais a seguir?
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