Encontre, usando o método da tentativa criteriosa, a solução geral da EDO
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de terceira ordem:
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
- Método da característica para resolver a EDO homogênea.
- Método da tentativa criteriosa para encontrar uma solução particular.
- Conhecimento básico de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da EDO, ou seja, a equação sem o termo não homogêneo (sem o
):
Para resolver isso, usamos o método da característica. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica
:
Além desse, existem duas raízes complexas que são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Usaremos o método da tentativa criteriosa. Observamos que o termo não homogêneo é
, que sugere tentar uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Igualamos os coeficientes das funções trigonométricas dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
- Substituindo na primeira equação:
- Portanto,
Passo 10
Agora, substituímos
e
na nossa tentativa de solução particular:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.