Encontre, usando o método da tentativa criteriosa, a solução geral da EDO
y^(3)(t) - y(t) = 2 sen(t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de terceira ordem:
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  1. Método da característica para resolver a EDO homogênea.
  2. Método da tentativa criteriosa para encontrar uma solução particular.
  3. Conhecimento básico de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da EDO, ou seja, a equação sem o termo não homogêneo (sem o ):
Para resolver isso, usamos o método da característica. Assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica :
Além desse, existem duas raízes complexas que são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Usaremos o método da tentativa criteriosa. Observamos que o termo não homogêneo é , que sugere tentar uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Igualamos os coeficientes das funções trigonométricas dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Portanto,

Passo 10

Agora, substituímos e na nossa tentativa de solução particular:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

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