Calcule as integrais.
a) integral duplaD(x^2+2 y) d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui. O problema é calcular a integral de sobre a região , que é o círculo de raio 2 no plano (já que ). Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante a integração sobre círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar x = r cos theta y = r sin theta e , usamos (a distância até a origem) e (o ângulo em relação ao eixo ). As relações são:
E o elemento de área em coordenadas polares se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar em coordenadas polares:
x^2 + 2y = (r cos theta)^2 + 2(r sin theta) = r^2 cos^2 theta + 2r sin theta
E a região 0 <= r <= 2 0 <= theta <= 2pi se torna:

Passo 4

Substituindo tudo na integral dupla, temos:
integral duplaD (x^2 + 2y) , dx , dy = integral0^2pi integral0^2 ( r^2 cos^2 theta + 2r sin theta ) r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^2 ( r^3 cos^2 theta + 2r^2 sin theta ) dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 r^3 cos^2 theta , dr = cos^2 theta integral0^2 r^3 , dr = cos^2 theta [ r^44 ]0^2 = cos^2 theta ( 164 - 0 ) = 4 cos^2 theta primeiro:
integral0^2 2r^2 sin theta , dr = 2 sin theta integral0^2 r^2 , dr = 2 sin theta [ r^33 ]0^2 = 2 sin theta ( 83 - 0 ) = 163 sin theta
E:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na integral externa:
integral0^2pi ( 4 cos^2 theta + 163 sin theta ) dtheta
Vamos integrar termo por termo:
4 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta + 163 integral0^2pi sin theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que:
integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4 + C
E:
integral sin theta , dtheta = -cos theta + C
Calculando as integrais:
4 [ theta2 + sin 2theta4 ]0^2pi + 163 [ -cos theta ]0^2pi
Simplificando:
2 [ theta + sin 2theta2 ]0^2pi + 163 [ -cos 2pi + cos 0 ]
Avaliando nos limites:
2 ( 2pi + 0 - 0 - 0 ) + 163 ( -1 + 1 ) = 4pi + 0 = 4pi

Resposta

A integral dupla vale .

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