Calcule as integrais.
a)
onde
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui. O problema é calcular a integral de
sobre a região
, que é o círculo de raio 2 no plano
(já que
). Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante a integração sobre círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
(a distância até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). As relações são:
E o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que queremos integrar em coordenadas polares:
E a região
se torna:
Passo 4
Substituindo tudo na integral dupla, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
E:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na integral externa:
Vamos integrar termo por termo:
Passo 7
Sabemos que:
E:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Avaliando nos limites:
Resposta
A integral dupla vale
.