Calcule as integrais impróprias:
(h)
(h)
Passo 1
Vamos calcular a integral imprópria
. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais no cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas dentro de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a expressão, podemos tentar a substituição
. Porém, uma substituição mais eficiente aqui é considerando uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a raiz. Vamos tentar reescrever a expressão sob a raiz:
Então,
Passo 4
Agora, podemos usar uma substituição trigonométrica. Seja
, onde
é o novo parâmetro de integração. Diferenciando ambos os lados:
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral de
é bem conhecida:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando os limites de integração. Quando
:
Quando
:
Então, a integral definida fica:
Resposta
A integral
é igual a
.