Calcule as integrais impróprias:
(h) integral0^1 theta+1raiztheta^2+2 theta d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais no cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de substituição e simplificação de expressões algébricas dentro de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador theta^2 + 2theta = theta(theta + 2) . Podemos fatorar a expressão dentro da raiz:
integral0^1 theta + 1raiztheta(theta + 2) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observando a expressão, podemos tentar a substituição theta^2 + 2theta = (theta + 1)^2 - 1 . Porém, uma substituição mais eficiente aqui é considerando uma substituição trigonométrica ou uma substituição que simplifique a raiz. Vamos tentar reescrever a expressão sob a raiz:
raiztheta^2 + 2theta = raiz(theta + 1)^2 - 1
Então,

Passo 4

Agora, podemos usar uma substituição trigonométrica. Seja dtheta = sec phi tan phi , dphi , onde integral (sec phi - 1) + 1raiz(sec phi)^2 - 1 cdot sec phi tan phi , dphi = integral sec phitan phi cdot sec phi tan phi , dphi = integral sec^2 phi , dphi é o novo parâmetro de integração. Diferenciando ambos os lados:
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral de integral sec^2 phi , dphi = tan phi + C é bem conhecida:
theta + 1 = sec phi implies tan phi = raiz(sec phi)^2 - 1 = raiz(theta + 1)^2 - 1 = raiztheta^2 + 2theta
Agora, precisamos voltar para a variável original . Sabemos que:

Passo 6

Aplicando os limites de integração. Quando 0 + 1 = sec phi implies phi = 0 :
1 + 1 = sec phi implies phi = pi3
Quando integral0^pi3 sec^2 phi , dphi = [ tan phi ]0^pi3 = tan(pi3) - tan(0) = raiz3 - 0 = raiz3 :
Então, a integral definida fica:

Resposta

A integral é igual a .

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