Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se
converge, então
e
convergem.
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências,
e
, e sabemos que a sequência dos seus termos somados,
, converge. A pergunta é: se a soma das duas sequências converge, isso garante que cada uma delas individualmente também converge?
Aqui, estamos lidando com seções numéricas e conceitos de convergência de sequências. Para resolver, vamos usar a ideia de que a convergência de somas pode ou não implicar na convergência dos termos individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência
convergir. Dizemos que
converge se existe um número real
tal que, conforme
cresce, os termos
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para todo
, existe um
tal que para todo
,
.
No nosso caso, sabemos que
converge, ou seja, existe um limite
tal que
se aproxima de
conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos investigar se isso garante que
e
também convergem. Para isso, vamos tentar encontrar um contraponto: uma situação em que
converge, mas pelo menos uma das sequências
ou
não converge.
Vamos supor o seguinte:
- Seja
. Essa sequência oscila entre 1 e -1 indefinidamente, então não converge. - Seja
, onde é uma constante.
Vamos escolher
para simplificar, então
.
Então,
.
A sequência
é constante e igual a 0 para todo
, ou seja, converge para 0.
Porém, vimos que
e
não convergem, já que
oscila entre 1 e -1 e
oscila entre -1 e 1.
Passo 4
Esse exemplo mostra que é possível ter a convergência da soma das sequências sem que as sequências individuais também sejam convergentes. Portanto, a afirmação original não é verdadeira em todos os casos.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que
converja, as sequências
e
individualmente podem não convergir.