Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
Se {a_n + b_n}_{n=1}^{+∞} converge, então {a_n}_{n=1}^{+\infty} e {b_n}_{n=1}^{+\infty} convergem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências, e , e sabemos que a sequência dos seus termos somados, , converge. A pergunta é: se a soma das duas sequências converge, isso garante que cada uma delas individualmente também converge?
Aqui, estamos lidando com seções numéricas e conceitos de convergência de sequências. Para resolver, vamos usar a ideia de que a convergência de somas pode ou não implicar na convergência dos termos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência convergir. Dizemos que converge se existe um número real tal que, conforme cresce, os termos ficam cada vez mais próximos de . Formalmente, para todo , existe um tal que para todo , .
No nosso caso, sabemos que converge, ou seja, existe um limite tal que se aproxima de conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos investigar se isso garante que e também convergem. Para isso, vamos tentar encontrar um contraponto: uma situação em que converge, mas pelo menos uma das sequências ou não converge.
Vamos supor o seguinte:
  • Seja . Essa sequência oscila entre 1 e -1 indefinidamente, então não converge.
  • Seja , onde é uma constante.
Vamos escolher para simplificar, então .
Então, .
A sequência é constante e igual a 0 para todo , ou seja, converge para 0.
Porém, vimos que e não convergem, já que oscila entre 1 e -1 e oscila entre -1 e 1.

Passo 4

Esse exemplo mostra que é possível ter a convergência da soma das sequências sem que as sequências individuais também sejam convergentes. Portanto, a afirmação original não é verdadeira em todos os casos.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que converja, as sequências e individualmente podem não convergir.

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