Considere a função f(x) = cos(pi/2 * x). Defina as sequências {a_n}_{n=1}^{+\infty} e {b_n}_{n=1}^{+\infty}, por a_n = f(2 * n) e b_n = f(2n + 1)
{a_n}_{n=1}^{+\infty} converge ? Se convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função e define duas sequências usando essa função: e . A pergunta é: a sequência converge? Se sim, qual é o limite?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, conforme os termos vão aumentando (ou seja, conforme cresce para infinito), os valores da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico chamado de limite.

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função dada:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos entender o que é . Sabemos que é um número inteiro (1, 2, 3, …), então vamos analisar o comportamento de para diferentes valores de .

Passo 5

Lembramos que:
Isso porque:
  • Quando é par ( ),
  • Quando é ímpar ( ),

Passo 6

Então, a sequência fica assim:
Isso significa que a sequência alterna entre 1 e -1 conforme aumenta:

Passo 7

Para que uma sequência convirja, os termos devem se aproximar cada vez mais de um único valor. No caso de , os termos estão constantemente alternando entre 1 e -1 e não se aproximam de nenhum número específico.

Passo 8

Portanto, a sequência não converge.

Resposta

A sequência não converge.

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