Considere a função
. Defina as sequências
e
, por
e
converge ? Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função
e define duas sequências usando essa função:
e
. A pergunta é: a sequência
converge? Se sim, qual é o limite?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, conforme os termos vão aumentando (ou seja, conforme
cresce para infinito), os valores da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico chamado de limite.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo na função dada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos entender o que é
. Sabemos que
é um número inteiro (1, 2, 3, …), então vamos analisar o comportamento de
para diferentes valores de
.
Passo 5
Lembramos que:
Isso porque:
- Quando
é par ( ), - Quando
é ímpar ( ),
Passo 6
Então, a sequência
fica assim:
Isso significa que a sequência alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta:
Passo 7
Para que uma sequência convirja, os termos devem se aproximar cada vez mais de um único valor. No caso de
, os termos estão constantemente alternando entre 1 e -1 e não se aproximam de nenhum número específico.
Passo 8
Portanto, a sequência
não converge.
Resposta
A sequência
não converge.