Seja f(t) uma função contínua para t >= 0. Seja F(s)=integral0^infty f(t) e^-s t d t. O domínio de F é o conjunto de todos os números s para os quais a integral converge. Calcule o valor de F(s) para os seguintes casos abaixo:
(b) f(t)=e^t ; f(t)=t.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular para as funções e . Este tipo de integral é conhecida como Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática aplicada e engenharia para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular F(s) = integral0^infty e^t e^-s t dt para a função . A Transformada de Laplace dessa função é:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da integral:
F(s) = integral0^infty e^t - s t dt = integral0^infty e^t(1 - s) dt

Passo 4

Para que a integral convirja, o expoente de deve ser negativo. Portanto, , ou seja, .

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
F(s) = integral0^infty e^-(s - 1) t dt = 1s - 1 para s > 1

Passo 6

Em seguida, vamos calcular F(s) = integral0^infty t e^-s t dt para a função . A Transformada de Laplace dessa função é:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para Lt = 1s^2 para s > 0 , que é uma função básica:

Resposta

Para F(s) = 1s - 1 com s > 1 :
F(s) = 1s^2 com s > 0
Para :

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