Seja
uma função contínua para
. Seja
. O domínio de
é o conjunto de todos os números
para os quais a integral converge. Calcule o valor de
para os seguintes casos abaixo:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular
para as funções
e
. Este tipo de integral é conhecida como Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil em matemática aplicada e engenharia para resolver equações diferenciais e analisar sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
para a função
. A Transformada de Laplace dessa função é:
Passo 3
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Para que a integral convirja, o expoente de
deve ser negativo. Portanto,
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular
para a função
. A Transformada de Laplace dessa função é:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos a fórmula da Transformada de Laplace para
, que é uma função básica:
Resposta
Para
:
Para
: