Beleza, o enunciado pede para calcular uma integral imprópria do tipo . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais e integrais impróprias. Vamos precisar decompor a função em frações mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Isso significa que vamos calcular o limite quando o valor de tende ao infinito.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os coeficientes , e . Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Expandindo e agrupando os termos:
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 12x+1 , dx = 12 ln|x+1|
integral -12xx^2+1 , dx = -14 ln(x^2+1)
integral 12x^2+1 , dx = 12 arctan(x)
Então, a integral completa é:
12 ln|x+1| - 14 ln(x^2+1) + 12 arctan(x) + C
Passo 6
Agora, vamos avaliar os limites de integração de 0 a infinito. Considerando que:
limx to infty ln(x+1) = infty
limx to infty ln(x^2+1) = 2ln(x)
limx to infty arctan(x) = pi2
Substituindo nos limites, percebemos que os termos com logaritmo se cancelam: