Calcule as integrais impróprias:
(j) integral0^infty 1(x+1)(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular uma integral imprópria do tipo . Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais e integrais impróprias. Vamos precisar decompor a função em frações mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Isso significa que vamos calcular o limite quando o valor de tende ao infinito.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos decompor a fração 1(x+1)(x^2+1) = Ax+1 + Bx + Cx^2+1 em frações parciais. Assumimos que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os coeficientes 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1) , 1 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C) e A + B = 0 B + C = 0 A + C = 1 . Multiplicando ambos os lados por A = 12, B = -12, C = 12 , obtemos:
1(x+1)(x^2+1) = 12x+1 + -12x + 12x^2+1
Expandindo e agrupando os termos:
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 12x+1 , dx = 12 ln|x+1|
integral -12xx^2+1 , dx = -14 ln(x^2+1)
integral 12x^2+1 , dx = 12 arctan(x)
Então, a integral completa é:
12 ln|x+1| - 14 ln(x^2+1) + 12 arctan(x) + C

Passo 6

Agora, vamos avaliar os limites de integração de 0 a infinito. Considerando que:
limx to infty ln(x+1) = infty
limx to infty ln(x^2+1) = 2ln(x)
limx to infty arctan(x) = pi2
Substituindo nos limites, percebemos que os termos com logaritmo se cancelam:
12 ln(infty) - 14 ln(infty) = 0
E o termo com arctan fica:
12 cdot pi2 = pi4

Resposta

A integral é igual a .

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