Calcule as integrais impróprias:
h) integral duplaD d x d yx^4+y^2, D: x >= 1, y >= x^2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais impróprias. A gente precisa calcular a integral dupla:
integral duplaD dx, dyx^4 + y^2
onde a região é definida por e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais duplas em regiões não limitadas, ou seja, integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de troca de variáveis e propriedades de integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Estamos olhando para todos os pontos onde é maior ou igual a 1 e é maior ou igual a . Isso significa que estamos integrando sobre uma área que se estende para o infinito em ambas as direções.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Como integral1^infty integralx^2^infty dy, dxx^4 + y^2 vai de 1 ao infinito e para cada , vai de ao infinito, podemos escrever:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx^2^infty dyx^4 + y^2 = integral1^infty x^2 dux^4 + (x^2u)^2 = integral1^infty x^2 dux^4(1 + u^2) = 1x^2 integral1^infty du1 + u^2 . Para simplificar, fazemos uma substituição , o que implica que e .
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral 1x^2 cdot pi4 = pi4x^2 é uma integral conhecida que resulta em . Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral1^infty pi4x^2 dx = pi4 integral1^infty dxx^2 = pi4 [ -1x ]1^infty = pi4 ( 0 - (-1) ) = pi4 :

Resposta

O valor da integral é .

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