Calcule as integrais impróprias:
h)
h)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais impróprias. A gente precisa calcular a integral dupla:
onde a região
é definida por
e
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais duplas em regiões não limitadas, ou seja, integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de troca de variáveis e propriedades de integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Estamos olhando para todos os pontos onde
é maior ou igual a 1 e
é maior ou igual a
. Isso significa que estamos integrando sobre uma área que se estende para o infinito em ambas as direções.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. Como
vai de 1 ao infinito e para cada
,
vai de
ao infinito, podemos escrever:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Para simplificar, fazemos uma substituição
, o que implica que
e
.
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral
é uma integral conhecida que resulta em
. Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
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c)
c)
Calcule o volume dos seguintes sólidos.
a) O sólido limitado pelo elipsóide .
a) O sólido limitado pelo elipsóide
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a)
a)
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro , entre o parabolóide
e o plano
.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro