Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integração tripla para encontrar o volume de um sólido. O enunciado nos dá uma região definida pelas seguintes condições:
Isso significa que e variam de 0 a 1, e para cada par , vai desde 0 até . Vamos precisar usar a integração tripla para calcular o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o volume pode ser encontrado integrando a função sobre a região :
Aqui, a função representa que estamos somando infinitos pequenos volumes para cobrir toda a região .
Passo 3
Vamos configurar os limites de integração. Observando as restrições:
varia de 0 a 1.
Para cada , varia de 0 a 1.
Para cada par , varia de 0 a .
Portanto, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a :
Agora, nossa integral reduz para:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a . A integral interna é: