Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro
, entre o parabolóide
e o plano
.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por
, entre um parabolóide
e o plano
(que é o plano onde
). Para isso, vamos usar integração tripla, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos em 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o cilindro
. Para facilitar, completamos o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular de raio
, centrado em
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o parabolóide
. Podemos rearranjar para expressar
em função de
e
:
Esse é um parabolóide que abre para cima a partir do plano
(
).
Passo 4
Para encontrar o volume entre o parabolóide e o plano
dentro do cilindro, configuramos uma integral tripla nas coordenadas cilíndricas, já que a simetria do cilindro facilita esses cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O cilindro
se torna:
Passo 5
Os limites de integração são:
-
varia de a (para que seja positivo, já que ). -
vai de 0 a . -
vai de 0 a (do plano ao parabolóide).
Passo 6
Montamos a integral tripla para o volume
:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Sabemos que
é uma função par, então podemos simplificar a integral:
Usamos a identidade para potências de cosseno:
Passo 10
Integrando:
Calculando os limites:
Passo 11
Voltando à integral do volume:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
a)
a)
Calcule as integrais impróprias:
h)
h)
Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro e abaixo da esfera
. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano
.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b) e
.
b)