Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
h) Sólido compreendido dentro de cilindro x^2 + y^2 = 2a x, entre o parabolóide x^2 + y^2 = 2 a z e o plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por , entre um parabolóide e o plano (que é o plano onde ). Para isso, vamos usar integração tripla, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos em 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o cilindro . Para facilitar, completamos o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular de raio , centrado em no plano .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o parabolóide . Podemos rearranjar para expressar em função de e :
Esse é um parabolóide que abre para cima a partir do plano ( ).

Passo 4

Para encontrar o volume entre o parabolóide e o plano dentro do cilindro, configuramos uma integral tripla nas coordenadas cilíndricas, já que a simetria do cilindro facilita esses cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O cilindro se torna:

Passo 5

Os limites de integração são:
  • varia de a (para que seja positivo, já que ).
  • vai de 0 a .
  • vai de 0 a (do plano ao parabolóide).

Passo 6

Montamos a integral tripla para o volume :
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Sabemos que é uma função par, então podemos simplificar a integral:
Usamos a identidade para potências de cosseno:

Passo 10

Integrando:
Calculando os limites:

Passo 11

Voltando à integral do volume:

Resposta

O volume do sólido é .

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a) D = {(x, y, z) em R^3 ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 4 - x^2 - y^2}
Calcule as integrais impróprias:
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Resolva os problemas abaixo.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro x^2 + y^2 = 4x e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano x y.
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
b) x ≥ 0, y ≥ 0 e 0 <= z <= -2 x - y + 4.