Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
i)
e
.
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar os sólidos definidos pelas equações dadas e calcular os seus volumes. Aqui, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional, usando inequações que definem regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar as inequações e integrar para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira inequação:
. Essa é a equação de uma elipse no plano xy. Podemos reescrever essa inequação dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 2 ao longo do eixo x e 1 ao longo do eixo y.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as inequações envolvendo z:
. Isso significa que, para cada ponto (x, y) dentro da elipse, z varia de
até
. Ou seja, estamos criando uma espécie de “camada” de altura 1 acima da superfície
.
Passo 4
Para visualizar o sólido, imagine uma elipse no plano xy e, em cada ponto dessa elipse, ergue-se uma pequena “prateleira” que vai de
até
. Isso forma um sólido que tem a forma da elipse estendida verticalmente por 1 unidade.
Passo 5
Para calcular o volume desse sólido, podemos usar a integração tripla. Mas como temos z variando de
a
, a altura é constante, então podemos multiplicar a área da base pela altura.
Primeiro, vamos encontrar a área da elipse. A fórmula para a área de uma elipse é:
onde
e
são os semi-eixos. No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, multiplicamos essa área pela altura do sólido, que é 1:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas:
g) .
g)
Calcule as integrais triplas:
b)
b)
Calcule as integrais.
a) onde
.
a)
Calcule as integrais impróprias:
b)
b)