Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
i) x^2 + 4y^2 <= 4 e x + y <= z <= x + y + 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar os sólidos definidos pelas equações dadas e calcular os seus volumes. Aqui, estamos lidando com geometria no espaço tridimensional, usando inequações que definem regiões específicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como interpretar as inequações e integrar para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira inequação: . Essa é a equação de uma elipse no plano xy. Podemos reescrever essa inequação dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 2 ao longo do eixo x e 1 ao longo do eixo y.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as inequações envolvendo z: . Isso significa que, para cada ponto (x, y) dentro da elipse, z varia de até . Ou seja, estamos criando uma espécie de “camada” de altura 1 acima da superfície .

Passo 4

Para visualizar o sólido, imagine uma elipse no plano xy e, em cada ponto dessa elipse, ergue-se uma pequena “prateleira” que vai de até . Isso forma um sólido que tem a forma da elipse estendida verticalmente por 1 unidade.

Passo 5

Para calcular o volume desse sólido, podemos usar a integração tripla. Mas como temos z variando de a , a altura é constante, então podemos multiplicar a área da base pela altura.
Primeiro, vamos encontrar a área da elipse. A fórmula para a área de uma elipse é:
Á
onde e são os semi-eixos. No nosso caso, e , então:
Á

Passo 6

Agora, multiplicamos essa área pela altura do sólido, que é 1:
Á

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule as integrais triplas:
g) integral2^3 integral0^3 y integral1^y z(2 x+y+z) d x d y d z.
Calcule as integrais triplas:
b) integral0^pi integral0^z integral0^y z cos xy d x d y d z
Calcule as integrais.
a) integral duplaD(x^2+2 y) d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4.
Calcule as integrais impróprias:
b) integral duplaR^2 d x d y(1+x^2+y^2)^p