Calcule as integrais impróprias:
e) integral0^infty integral0^infty d x d y(x^2+y^2+a^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla imprópria que vai de 0 até o infinito em ambas as direções, e a função que estamos integrando é . O conteúdo principal envolve cálculo de integrais impropriamente definidas e, para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com funções que têm .

Passo 2

Primeiro, vamos trocar de coordenadas cartesianas para polares. Lembra que em coordenadas polares, integral0^pi2 integral0^infty r,dr,dthetar^2 + a^2 e , e o elemento de área vira . Nossa integral fica então:
Aqui, a gente mudou o intervalo de de 0 a porque estamos integrando apenas no primeiro quadrante (onde e são positivos).

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^infty r,drr^2 + a^2 :
12 integrala^2^infty duu = 12 [ln(u)]a^2^infty
Fazendo uma substituição simples, deixa , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 4

Avaliar os limites da integral:
12 [ln(infty) - ln(a^2)] = 12 (infty - ln(a^2))
Aqui, tende a infinito, então a integral interna diverge, ou seja, não tem um valor finito.

Resposta

A integral dupla diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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b, 0 < alpha < beta )
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