Calcule as integrais impróprias:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla imprópria que vai de 0 até o infinito em ambas as direções, e a função que estamos integrando é
. O conteúdo principal envolve cálculo de integrais impropriamente definidas e, para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com funções que têm
.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar de coordenadas cartesianas para polares. Lembra que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. Nossa integral fica então:
Aqui, a gente mudou o intervalo de
de 0 a
porque estamos integrando apenas no primeiro quadrante (onde
e
são positivos).
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Fazendo uma substituição simples, deixa
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 4
Avaliar os limites da integral:
Aqui,
tende a infinito, então a integral interna diverge, ou seja, não tem um valor finito.
Resposta
A integral dupla
diverge, ou seja, não possui um valor finito.
Exercícios relacionados
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
h)
)
h)
Calcule as integrais triplas:
a) onde
a)
Calcule as integrais triplas:
b)
b)
Calcule as integrais triplas:
g) .
g)