Calcule as integrais triplas:
a) integral triplaD x y z d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região que é definida pelas condições , e . Isso significa que vamos integrar a função dentro de um paralelepípedo retangular no espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar as técnicas de integrais triplas em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a integral tripla com os limites de integração fornecidos. A integral fica assim:
integral0^2 integral0^1 integral0^2 x y z , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , depois a , e por último a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^2 x y z , dz = x y [ z^22 ]0^2 = x y ( 2^22 - 0^22 ) = x y ( 42 ) = 2 x y . A função a ser integrada é , e e são constantes em relação a . A integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, temos uma nova integral com o resultado anterior. Vamos integrar integral0^1 2 x y , dy = 2 x [ y^22 ]0^1 = 2 x ( 1^22 - 0^22 ) = 2 x ( 12 ) = x em relação a :

Passo 5

Por fim, integramos integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 = 2 em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
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h) x^2 = a y, x^2 = b y, y^2 = alfa x, y^2 = beta x (0 < a <)
b, 0 < alpha < beta )
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e) integral0^infty integral0^infty d x d y(x^2+y^2+a^2)