Calcule as integrais triplas:
b) integral0^pi integral0^z integral0^y z cos xy d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que você enviou:
integral0^pi integral0^z integral0^y z cos xy , dx , dy , dz
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais triplas. Precisamos entender os limites de cada variável e aplicar técnicas de integração, como substituição e integração por partes.

Passo 2

Começamos resolvendo a integral mais interna, que é em relação a integral0^y z cos xy , dx:

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja , então ou .

Passo 3

Substituindo na integral:
integral0^y z cos xy , dx = y integral0^y zy cos u , du = y integral0^z cos u , du
Agora, integremos y [ sin u ]0^z = y (sin z - sin 0) = y sin z em relação a :

Passo 4

Substituindo o resultado na integral original, agora temos uma integral dupla:
integral0^pi integral0^z y sin z , dy , dz
Como integral0^pi sin z ( integral0^z y , dy ) dz não depende de , podemos tratar como uma constante em relação a :

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^z y , dy = [ y^22 ]0^z = z^22:
integral0^pi sin z cdot z^22 , dz = 12 integral0^pi z^2 sin z , dz
Então, a integral dupla fica:

Passo 6

Agora, precisamos resolver integral z^2 sin z , dz = -z^2 cos z + 2 integral z cos z , dz. Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
  • Escolhemos e
  • Então, e
Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 7

Precisamos integrar integral z cos z , dz = z sin z - integral sin z , dz = z sin z + cos z novamente por partes:
  • Escolhemos e
  • Então, e
Aplicando a integração por partes:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral z^2 sin z , dz = -z^2 cos z + 2(z sin z + cos z) + C
Agora, vamos avaliar essa expressão de 0 a [ -pi^2 cos pi + 2(pi sin pi + cos pi) ] - [ -0 + 2(0 + 1) ]:
- pi^2 (-1) + 2(0 -1) - (0 + 2) = pi^2 - 2 - 2 = pi^2 - 4
Sabemos que , e , então:

Passo 9

Lembrando do fator 12 (pi^2 - 4) = pi^22 - 2 que tínhamos antes:

Resposta

A integral tripla vale .

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