Calcule as integrais triplas:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que você enviou:
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais triplas. Precisamos entender os limites de cada variável e aplicar técnicas de integração, como substituição e integração por partes.
Passo 2
Começamos resolvendo a integral mais interna, que é em relação a
:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Seja
Passo 3
Substituindo na integral:
Agora, integremos
Passo 4
Substituindo o resultado na integral original, agora temos uma integral dupla:
Como
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Agora, precisamos resolver
. Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
- Escolhemos
e - Então,
e
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 7
Precisamos integrar
novamente por partes:
- Escolhemos
e - Então,
e
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão anterior:
Agora, vamos avaliar essa expressão de 0 a
Sabemos que
,
e
, então:
Passo 9
Lembrando do fator
que tínhamos antes:
Resposta
A integral tripla vale
.