Calcule as integrais triplas:
g) integral2^3 integral0^3 y integral1^y z(2 x+y+z) d x d y d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função em relação a , depois a e, por fim, a , respeitando os limites de cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral1^y z (2x + y + z) ,dx = [ x^2 + y x + z x ]1^y z em relação a , mantendo e como constantes. Os limites de vão de 1 até .
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , já que é tratado como constante. Similarmente, a integral de em relação a é .
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, substituímos os limites na expressão que encontramos:
[ (y z)^2 + y (y z) + z (y z) ] - [ 1^2 + y cdot 1 + z cdot 1 ]
Vamos simplificar isso:
(y^2 z^2 + y^2 z + y z^2) - (1 + y + z)

Passo 4

Agora, temos a expressão simplificada para a integral em termos de e . Precisamos agora integrar isso em relação a , com os limites de 0 a .
No entanto, parece haver um erro nos limites de integração. Os limites para não podem depender de . Vamos revisar o enunciado:
A integral original é .
Supondo que os limites estejam corrigidos para , continuamos.

Passo 5

Continuando, a próxima etapa é integrar a expressão [ y^3 z^23 + y^3 z3 + y^2 z^22 - y - y^22 - z y ]0^3 z em relação a , entre 0 e .
A integral de em relação a é .
A integral de em relação a é .
A integral de em relação a é .
A integral de em relação a é .
A integral de em relação a é .
A integral de em relação a é .
Então, a integral fica:

Passo 6

Substituímos os limites (3 z)^3 z^23 + (3 z)^3 z3 + (3 z)^2 z^22 - 3 z - (3 z)^22 - z (3 z) e 27 z^53 + 27 z^43 + 9 z^42 - 3 z - 9 z^22 - 3 z^2 :
Para 9 z^5 + 9 z^4 + 9 z^42 - 3 z - 9 z^22 - 3 z^2 :
0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 0
Simplificando:
9 z^5 + 9 z^4 + 9 z^42 - 3 z - 9 z^22 - 3 z^2
= 9 z^5 + 27 z^42 - 3 z - 15 z^22
Para :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a integral2^3 (9 z^5 + 27 z^42 - 3 z - 15 z^22) ,dz , com os limites de 2 a 3:
integral 9 z^5 ,dz = 9 z^66 = 3 z^62
Calculando cada termo:
integral 27 z^42 ,dz = 27 z^510
integral -3 z ,dz = -3 z^22
integral -15 z^22 ,dz = -15 z^36 = -5 z^32

Passo 8

Agora, juntamos todas as integrais:
3 z^62 + 27 z^510 - 3 z^22 - 5 z^32
Avalie isso de 3 (3)^62 + 27 (3)^510 - 3 (3)^22 - 5 (3)^32 a 3 cdot 7292 + 27 cdot 24310 - 3 cdot 92 - 5 cdot 272 :
Para 21872 + 656110 - 272 - 1352 :
1093.5 + 656.1 - 13.5 - 67.5 = 1670.6
3 (2)^62 + 27 (2)^510 - 3 (2)^22 - 5 (2)^32
3 cdot 642 + 27 cdot 3210 - 3 cdot 42 - 5 cdot 82
1922 + 86410 - 122 - 402
Para 96 + 86.4 - 6 - 20 = 156.4 :

Passo 9

Subtraímos o valor em 1670.6 - 156.4 = 1514.2 do valor em :

Resposta

A integral tripla vale aproximadamente .

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