Calcule as integrais triplas:
g)
.
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função
em relação a
, depois a
e, por fim, a
, respeitando os limites de cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
e
como constantes. Os limites de
vão de 1 até
.
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, já que
é tratado como constante. Similarmente, a integral de
em relação a
é
.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, substituímos os limites na expressão que encontramos:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Agora, temos a expressão simplificada para a integral em termos de
e
. Precisamos agora integrar isso em relação a
, com os limites de 0 a
.
No entanto, parece haver um erro nos limites de integração. Os limites para
não podem depender de
. Vamos revisar o enunciado:
A integral original é
.
Supondo que os limites estejam corrigidos para
, continuamos.
Passo 5
Continuando, a próxima etapa é integrar a expressão
em relação a
, entre 0 e
.
A integral de
em relação a
é
.
A integral de
em relação a
é
.
A integral de
em relação a
é
.
A integral de
em relação a
é
.
A integral de
em relação a
é
.
A integral de
em relação a
é
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Substituímos os limites
e
:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
, com os limites de 2 a 3:
Calculando cada termo:
Passo 8
Agora, juntamos todas as integrais:
Avalie isso de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A integral tripla vale aproximadamente
.