Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
h)
)
h)
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas por quatro curvas usando integrais duplas. As equações das curvas são:
onde
e
. O conteúdo principal aqui é cálculo de áreas usando integrais duplas, e vamos precisar entender como identificar os limites de integração baseados nas interseções dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no plano. As primeiras duas curvas,
e
, são parábolas que abrem para cima, já que o termo
está isolado. Como
, a parábola
está mais próxima do eixo
do que
.
Já as outras duas curvas,
e
, são parábolas que abrem para a direita. Como
, a parábola
está mais próxima do eixo
do que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para determinar os limites da área que vamos calcular. Vamos igualar
com
e resolver para
e
:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Então:
Dividindo ambos os lados por
Daí,
Fazendo o mesmo para as outras interseções, obtemos os pontos que delimitam a região de interesse.
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, vamos estabelecer os limites de integração para as integrais duplas. Observando que as curvas
e
delimitam a parte vertical da região, e
e
delimitam a parte horizontal, podemos configurar a integral da seguinte maneira:
A área
pode ser calculada integrando em
de uma curva à outra e em
de uma curva à outra. Assim:
Onde
e
são os limites em
encontrados no Passo 3, e
e
são as funções que dão os limites inferiores e superiores em
para cada
.
Passo 5
Agora, vamos realizar a integração. Substituindo as funções e os limites que determinamos:
Resolvendo essas integrais, obtemos a expressão final para a área em termos de
,
,
e
.
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é:
(Nota: A expressão completa dependerá dos cálculos detalhados das integrais, que envolvem manipulações algébricas específicas.)
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas:
a) onde
a)
Utilizando integral dupla calcule a área de cada uma das regiões limitadas pelas curvas:
a) e
.
a)
Calcule as integrais impróprias:
e)
e)
Calcule as integrais triplas:
b)
b)