Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
f(x) = { 0 se -pi < x < 0; sen(x) se 0 < x < pi };

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. O que a gente precisa fazer aqui é desenvolver a série de Fourier para a função dada e depois estender essa função de forma periódica. Para isso, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral da série de Fourier para uma função com período :
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos. Nosso trabalho será calcular esses coeficientes para a função dada.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo a :
Como a função é 0 de a 0 e de 0 a , a integral fica:
Resolvendas integrais:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os cossenos. A fórmula é:
De novo, dividimos a integral:
A primeira integral é zero. Para a segunda, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Após avaliar os limites, percebemos que para qualquer , devido à simetria das funções seno e cosseno no intervalo considerado.

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os senos:
Dividimos novamente:
A primeira parte é zero. Para a segunda integral, usamos a identidade:
Então:
Integrando:
Após avaliar, obtemos:
Como , simplificamos:
Finalmente:
í
E para par.

Resposta

A série de Fourier desenvolvida para a função dada é:
í
E o prolongamento periódico dessa função é obtido estendendo-se essa série para todo de forma periódica com período .

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