Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral0^1 d xraiz[3]x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral imprópria integral0^1 dxraiz[3]x. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais, especificamente as impróprias. Para resolver, vamos verificar se a integral converge ou não e, se convergir, calcular o valor dela.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está sendo integrada: 1raiz[3]x. Podemos reescrever isso como x^-1/3. Observamos que em x = 0, a função pode ter um comportamento problemático porque a raiz cúbica de zero é zero, e estamos dividindo por isso.

Passo 3

Como temos um ponto problemático em x = 0, a integral é imprópria nesse limite. Para resolver, vamos reescrever a integral utilizando um limite. Assim, a integral fica:
integral0^1 dxraiz[3]x = lima to 0^+ integrala^1 x^-1/3 dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de x^-1/3. A antiderivada de x^n é x^n+1n+1, desde que n neq -1. Aqui, n = -1/3, então:
integral x^-1/3 dx = x^2/32/3 = 32 x^2/3

Passo 5

Aplicando os limites de integração, temos:
lima to 0^+ [ 32 x^2/3 ]a^1 = lima to 0^+ ( 32 (1)^2/3 - 32 (a)^2/3 ) = 32 - 32 cdot 0 = 32

Resposta

A integral imprópria integral0^1 dxraiz[3]x converge e seu valor é 32.

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