Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes: integral0^1 2 ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral imprópria: . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e integrar a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração inclui um ponto onde a função não está definida ou é infinita. No nosso caso, lima to 0^+ integrala^1 2 ln(x) , dx não está definida quando , pois tende a .
Então, para calcular essa integral, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função 2 integral ln(x) , dx = 2(x ln(x) - x) + C . A integral de é , então multiplicando por 2, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 2 [ (1 cdot ln(1) - 1) - (a cdot ln(a) - a) ] até 1, temos:
2 [ (-1) - (a ln(a) - a) ]
Sabemos que , então simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme lima to 0^+ 2 [ -1 - a ln(a) + a ] tende a 0:
2 [ -1 - 0 + 0 ] = -2
Observamos que tende a 0 quando tende a 0, já que vai para 0 mais rápido que vai para . Portanto, o limite fica:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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