Calcule as integrais impróprias das seguintes funções, concluindo se elas são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral imprópria:
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e integrar a função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração inclui um ponto onde a função não está definida ou é infinita. No nosso caso,
não está definida quando
, pois
tende a
.
Então, para calcular essa integral, a gente vai transformar a integral imprópria em um limite. Assim, reescrevemos a integral como:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
. A integral de
é
, então multiplicando por 2, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando os limites de integração de
até 1, temos:
Sabemos que
, então simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite conforme
tende a 0:
Observamos que
tende a 0 quando
tende a 0, já que
vai para 0 mais rápido que
vai para
. Portanto, o limite fica:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.