Dada a superfície , determinar a reta tangente às curvas da intersecção da superfície com (a) o plano 2, (b) o plano , no ponto .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície e precisamos encontrar as retas tangentes às curvas de intersecção dessa superfície com dois planos: (a) o plano e (b) o plano , no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e de como encontrar retas tangentes a curvas em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a intersecção da superfície com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Assim, a curva de intersecção é definida por com .
Passo 3
Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , vamos parametrizar a curva em termos de . Nosso parâmetro será , então temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da curva no ponto específico. Calculando a derivada:
No ponto onde , substituímos:
Passo 5
Com a inclinação da curva, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Sabendo que no ponto , , e , a reta tangente é:
Onde é o parâmetro.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para a intersecção com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Assim, a curva de intersecção é com .
Passo 7
Parametrizando a curva em termos de , temos:
Passo 8
Calculando a derivada de em relação a :
No ponto onde :
Passo 9
Com a inclinação encontrada, escrevemos a equação paramétrica da reta tangente: