Dada a superfície , determinar a reta tangente às curvas da intersecção da superfície com (a) o plano 2, (b) o plano , no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície e precisamos encontrar as retas tangentes às curvas de intersecção dessa superfície com dois planos: (a) o plano e (b) o plano , no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e de como encontrar retas tangentes a curvas em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a intersecção da superfície com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Assim, a curva de intersecção é definida por com .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , vamos parametrizar a curva em termos de . Nosso parâmetro será , então temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a para determinar a inclinação da curva no ponto específico. Calculando a derivada:
No ponto onde , substituímos:

Passo 5

Com a inclinação da curva, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. Sabendo que no ponto , , e , a reta tangente é:
Onde é o parâmetro.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para a intersecção com o plano . Substituindo na equação da superfície, temos:
Assim, a curva de intersecção é com .

Passo 7

Parametrizando a curva em termos de , temos:

Passo 8

Calculando a derivada de em relação a :
No ponto onde :

Passo 9

Com a inclinação encontrada, escrevemos a equação paramétrica da reta tangente:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As retas tangentes no ponto são:
a) Para o plano :
b) Para o plano :

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