Determinar, se existirem, as derivadas parciais da função em , sendo
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que pediu para determinar se as derivadas parciais da função existem no ponto . A gente vai trabalhar com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo diferencial onde derivamos a função em relação a uma variável de cada vez, mantendo a outra constante. Para resolver isso, precisamos verificar se os limites que definem essas derivadas existem no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial em relação a é definida como:
Sabemos que (pela definição da função quando ). Então, substituindo na expressão:
Agora, sabemos que para qualquer . Então, . Quando tende a 0, também tende a 0, o que implica que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial em relação a é dada por:
Como para qualquer , incluindo , temos:
Resposta
As derivadas parciais de no ponto existem e são iguais a zero: