Determinar, se existirem, as derivadas parciais da função em , sendo

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que pediu para determinar se as derivadas parciais da função existem no ponto . A gente vai trabalhar com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo diferencial onde derivamos a função em relação a uma variável de cada vez, mantendo a outra constante. Para resolver isso, precisamos verificar se os limites que definem essas derivadas existem no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial em relação a é definida como:
Sabemos que (pela definição da função quando ). Então, substituindo na expressão:
Agora, sabemos que para qualquer . Então, . Quando tende a 0, também tende a 0, o que implica que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a no ponto , ou seja, . A derivada parcial em relação a é dada por:
Como para qualquer , incluindo , temos:

Resposta

As derivadas parciais de no ponto existem e são iguais a zero:

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