Determinar, se existirem, as derivadas parciais da função
em
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que pediu para determinar se as derivadas parciais da função
existem no ponto
. A gente vai trabalhar com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo diferencial onde derivamos a função em relação a uma variável de cada vez, mantendo a outra constante. Para resolver isso, precisamos verificar se os limites que definem essas derivadas existem no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. A derivada parcial em relação a
é definida como:
Sabemos que
(pela definição da função quando
). Então, substituindo na expressão:
Agora, sabemos que para qualquer
. Então, . Quando
tende a 0,
também tende a 0, o que implica que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
. A derivada parcial em relação a
é dada por:
Como
para qualquer
, incluindo
, temos:
Resposta
As derivadas parciais de
no ponto
existem e são iguais a zero: